Pewnie wiesz, że równowagę na przykład na slacklinie, trudno utrzymać. Trzeba cały czas balansować ciałem żeby nie spaść na ziemię. My pokażemy Ci trik, dzięki któremu równowagę w powietrzu utrzyma zwykły, papierowy trójkąt. Weź taką tekturkę i wytnij z niej trójkąt. Dowolny. Zaznacz środek każdego z boków. Teraz z każdego środka poprowadź odcinek do przeciwległego wierzchołka. Ustaw pionowo słomkę albo ołówek i połóż na nim trójkąt tak żeby jego punkt podparcia był w miejscu gdzie odcinki się przecięły. Jeśli zrobisz to dokładnie, twój trójkąt powinien się utrzymać w poziomie nawet na igle od cyrkla. Odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku nazywamy środkową trojkąta, a skoro trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy boki, to musi też mieć... Tak, trzy środkowe. Tu, tu i tu. Z pokazanego na początku doświadczenia wiesz też, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie leżącym wewnątrz trójkąta. To prawda dla każdego trójkąta niezależnie od tego, jaki on jest. Punkt ten ma bardzo ciekawą własność którą też odkryliśmy w naszym doświadczeniu. Każdy trójkąt podparty w tym punkcie albo zawieszony w nim, na przykład na nitce pozostaje w równowadze. Dlatego nazywamy go środkiem ciężkości trójkąta albo barycentrum trójkąta. A jakie jeszcze własności ma środek ciężkości trójkąta? Otóż dzieli on każdą ze środkowych w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka trójkąta. Zobaczmy to na rysunku. Odcinek SA jest dwa razy dłuższy od odcinka SF. Odcinek SB jest dwa razy dłuższy od SD a odcinek SC - 2 razy dłuższy od SE. Wiedząc to, możesz już rozwiązywać zadania o środkowej, ale to po orzeszku. Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym bok AB ma długość 15, AC 12, a BC 9. Mamy obliczyć odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka B czyli długość odcink... BS. Zapiszmy to. Co o tym odcinku wiemy? Jest częścią środkowej BD. Jaką częścią? Tą dłuższą, czyli stanowi 2/3 tej środkowej. Coś już mamy. Gdybyśmy znali długość środkowej, sprawa byłaby załatwiona. Skąd ją wziąć? Podświetlmy te odcinki, których długości znamy. Wiemy też, że punkt D dzieli odcinek AC na dwie połowy, z których każda ma długość 6 a punkt E dzieli odcinek BC na dwa po 4,5. Co z tego wynika? Tak, tu wystarczy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Zapisujemy: dziewięć do kwadratu dodać sześć do kwadratu równa się długości odcinka BD do kwadratu. Podnosimy do kwadratu liczby po lewej dodajemy i otrzymujemy 117. Stąd długość odcinka BD to pierwiastek ze 117. Czy da się ten pierwiastek jakoś uprościć? Pomyślmy, tak wygląda liczba 117 po rozłożeniu na czynniki pierwsze. Mamy tu dwie trójki, które po wymnożeniu dają 9, a pierwiastek z 9 to trzy. Z liczbą 13 już nic nie zrobimy. Zostaje pod pierwiastkiem. Po obliczeniach dostajemy że długość odcinka BD to 3 pierwiastki z 13. Zostaje nam do obliczenia długość odcinka BS. To już spacerek, bo wiemy, że stanowi dwie trzecie całej środkowej BD. Liczymy: BS to 2/3 z 3 pierwiastków z 13 czyli po skróceniu 2 pierwiastki z 13. Mamy to! Czas na kolejne zadanie. W trójkącie równoramiennym o ramieniu równym 10, odległość środka ciężkości od podstawy wynosi 2. Oblicz długość podstawy. Oprócz długości odcinków mamy tu jeszcze jedną ważną informację: że nasz trójkąt jest równoramienny. Co z tego wynika? Otóż zaznaczona środkowa dzieli go dokładnie na pół, czyli mówiąc matematycznie na dwa trójkąty przystające. Tu musi więc być kąt prosty, a odcinek CD jest wysokością trójkąta. Wiedząc to wszystko wstrzymaj film i rozwiąż to zadanie samodzielnie. A jeśli napotkasz problemy, nie przejmuj się. Za chwilę rozwiążemy je razem. Tak jak poprzednio, podświetlmy odcinki o znanej długości. Popatrz na planszę. Coś Ci przychodzi do głowy? Ten odcinek to 1/3 tego. Cały odcinek CD ma zatem... 2 razy 3, czyli 6. Teraz wystarczy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć długość połowy podstawy. My robimy to trochę na skróty, ale jeśli potrzebujesz, zatrzymaj film i przelicz w swoim tempie. Cała podstawa trójkąta, czyli odcinek AB ma 8 razy 2, czyli 16. Możemy podać odpowiedź: szukana długość podstawy to 16. Drugie zadanie za nami. Kolejne zadanie to zadanie dowodowe. Dany jest równoległobok ABCD. Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie S. Punkt K jest środkiem boku AB odcinek DK przecina przekątną AC w punkcie P. Wykaż, że odcinek AC jest równy sześciu odcinkom PS. Co konkretnie mamy wykazać? Że ten odcinek jest 6 razy dłuższy od tego. Przyjrzyj się dokładnie rysunkowi. Może już masz pomysł? Skoro to równoległobok, to wiadomo że jego przekątne przecinają się w połowie. Czyli te dwa odcinki są takiej samej długości i te też. Spójrzmy teraz na trójkąt ABD, czyli ten. Czy oba zaznaczone odcinki to środkowe tego trójkąta? Tak. Punkt S jest środkiem odcinka BD a punkt K środkiem odcinka AB. Zabierzmy się za nasz odcinek. Oznaczamy go jako x na rysunku ale też zapiszmy, że SP = x. To ważne w zadaniach dowodowych. Trzeba zapisywać każdy krok. Odcinek x to 1/3 środkowej AS czyli odcinek AP to 2x. To też zapisujemy. Druga część naszej przekątnej AC jest tej samej długości co pierwsza czyli ma... Tak. 3x. Zapisujemy. Całość, czyli odcinek AC, to... Zgadza się, 6x. Ten odcinek to x, a ten to 6x czyli jest 6 razy dłuższy. O to nam właśnie chodziło. Zapiszmy to tak, jak w treści zadania. Odcinek AC równa się 6 razy odcinek PS. A tego właśnie należało dowieść. Środkowe trójkąta zawsze przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą z środkowych w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka trójkąta. Na dzisiaj to już wszystko. Obejrzyj pozostałe filmy z tej playlisty, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv