Z czym ci się kojarzy słowo "ortocentrum"? Ze sklepem ze sprzętem ortopedycznym? A może z poradnią leczenia wad zgryzu? Greckie słowo "orthos" oznacza coś dokładnego, prawidłowego, albo... leżącego do czegoś pod kątem prostym. I pewnie z tym wiąże się znane matematykom pojęcie ortocentrum, o którym będzie ten film. Wiele domów ma dwuspadowe dachy. Ich poszycie podtrzymują konstrukcje z drewnianych belek, które tworzą często trójkąty, tak jak na tym rysunku. Wprawne oko dostrzeże na tym rysunku jeszcze, że wewnętrzne elementy więźby dachowej są ustawione prostopadle do stropu lub do krokwi podtrzymujących powierzchnię dachu. Mówiąc językiem matematyki, są wysokościami trójkątów utworzonych przez te krokwie. W tym filmie pokażemy, jak matematyka pomaga w planowaniu takich konstrukcji. Zacznijmy od przypomnienia czym jest wysokość trójkąta. To najkrótszy z odcinków łączących wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok. Tak, jak u nas na rysunku. Skoro ma być to najkrótsza droga, to musi być ona narysowana pod kątem prostym. Wiesz też, że skoro każdy trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy boki to musi też mieć trzy wysokości. Jeśli masz problem z ich rysowaniem możesz obracać swój zeszyt tak by dany wierzchołek znajdował się u góry. To trójkąt ostrokątny. W nim wysokości przecinają się w środku trójkąta. Czy tak będzie w każdym trójkącie? Przeanalizujmy trójkąt prostokątny. W trójkącie prostokątnym aż dwie wysokości pokrywają się z bokami tego trójkąta, a trzecia wychodzi z wierzchołka przy kącie prostym i biegnie o tu. Wszystkie wysokości przecinają się więc w wierzchołku przy kącie prostym. A w trójkącie rozwartokątnym? Kiedy poprowadzimy wysokość z wierzchołka C pod kątem prostym do prostej zawierającej bok AB, okaże się że wysokość ta leży poza trójkątem. Teraz wysokość poprowadzona z wierzchołka A i trzecia poprowadzona z wierzchołka B. Hmm, na pierwszy rzut oka wysokości się nie przecinają, ale... Jeśli jednak przedłużysz proste które zawierają te wysokości to przetną się one w jednym punkcie - o tu. Zapamiętaj: wysokości dowolnego trójkąta lub proste zawierające te wysokości zawsze przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. Schrup orzeszka, a po nim zajmiemy się szczególnym trójkątem i jego wysokościami. Popatrz na rysunek i powiedz, jaki to trójkąt? Tak, to trójkąt równoboczny. Wszystkie kąty tego trójkąta są ostre więc wysokości przecinają się...? Jasne, wewnątrz trójkąta. Co jeszcze możemy powiedzieć o wysokościach w trójkącie równobocznym? Każda z nich łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, czyli jest... Tak, środkową. A pamiętasz jaką własność mają środkowe w trójkącie? Punkt ich przecięcia dzieli każdą z nich w stosunku 2:1. Stąd prawdziwy jest fakt, że punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli każdą z nich na dwie części z których jedna jest 2 razy dłuższa od drugiej. Ta, oznaczmy ją jako q, to 2/3 wysokości a ta, oznaczmy ją jako p, to 1/3 wysokości. Zapamiętaj tę własność. Przyda się nam w zadaniu po orzeszku. Dany jest trójkąt równoboczny ABC w którym odległość ortocentrum od podstawy to 2. Oblicz wysokość oraz długość boku tego trójkąta. Skoro odległość ortocentrum od podstawy wynosi 2, a wiemy, że ten odcinek jest 2 razy dłuższy, czyli ma 4 to cała wysokość ma 4 + 2, czyli 6. Żeby obliczyć długość boku możemy albo skorzystać ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego albo z twierdzenia Pitagorasa. Wybierz sposób, który bardziej Ci pasuje. My skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Zaznaczmy jeden z trójkątów prostokątnych Ten bok to wysokość trójkąta ABC. Ten, to jego bok, a ten, to połowa boku. Zapiszmy twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta. 6 do kwadratu dodać 1/2a do kwadratu równa się a do kwadratu. 6 do kwadratu to 36 1/2a do kwadratu to 1/4a kwadrat a to równa się a kwadrat. Czyli a kwadrat minus 1/4a kwadrat równa się 36. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy: 3/4a kwadrat równa się 36. Dzielimy przez liczbę przy niewiadomej czyli przez 3/4. Pamiętaj, że dzielenie przez ułamek, to to samo co mnożenie przez odwrotność a więc mnożymy 36 razy 4/3. Skracamy 36 i 3 i po wymnożeniu otrzymujemy 48. a to pierwiastek z 48, który możemy rozłożyć zapisując liczbę 48 jako 16 razy 3. Bok trójkąta ma długość 4 pierwiastki z trzech. Mamy obliczoną wysokość i bok trójkąta. Wszystko, o co pytano nas w zadaniu. Czas na orzeszka i kolejne zadanie. Dany jest trójkąt prostokątny o bokach: 8, 15 i 17. Oblicz odległość ortocentrum od przeciwprostokątnej. Powinniśmy zaznaczyć jeszcze ortocentrum na naszym rysunku. Czy pamiętasz, gdzie się ono znajduje w trójkącie prostokątnym? Masz rację, w wierzchołku kąta prostego. Zaznaczmy poszukiwaną odległość. Odległość punktu od prostej to najkrótszy z odcinków łączących te dwa elementy. Jaką własność ma jeszcze ten odcinek? Oczywiście jest prostopadły do boku trójkąta, czyli...? Czyli jest jego wysokością. Co dalej? Może skorzystasz ze wzoru w którym występuje wysokość? Na przykład ze wzoru na pole trójkąta. P równa się a razy h przez 2. Jak? Obróćmy nasz trójkąt tak aby przeciwprostokątna znalazła się na dole. W pierwszym ustawieniu możemy obliczyć pole, bo znamy podstawę i wysokość. W drugim możemy to pole wykorzystać do obliczenia wysokości ponieważ pole trójkąta się nie zmieni. Po lewej pole to 15 razy 8 przez 2 a po prawej 17 razy szukane h przez 2. Po obu stronach dzielimy przez 2 więc tych dwójek możemy się pozbyć mnożąc obustronnie. Otrzymujemy 15 razy 8 równa się 17 razy h czyli 17 h jest równe 120. Dzielimy obustronnie przez 17 i otrzymujemy wynik: 120 siedemnastych czyli 7 całych i jedna siedemnasta. Gotowe! Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia jego wysokości. W zależności od rodzaju trójkąta może się on znajdować wewnątrz trójkąta, w jednym z jego wierzchołków, lub poza trójkątem. W trójkącie równobocznym, wysokości trójkąta pokrywają się z jego środkowymi i dwusiecznymi jego kątów. Punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka trójkąta. Ortocentrum to miejsce przecięcia wysokości trójkąta. A pistacja to miejsce, w którym przecina się wiedza z wielu przedmiotów. Warto oznaczyć nas w ulubionych.