Pierwiastki sześcienne z liczb niesześciennych

W 499. roku naszej ery Arjabhata, hinduski matematyk i astronom opisał w swoim dziele "Arjasiddhanta" metodę znajdowania pierwiastków sześciennych z liczb wielocyfrowych. Miał wtedy zaledwie 23 lata nic więc dziwnego, że jest uznawany za jednego z najwybitniejszych w historii Indii. Matematyk Arjabhata potrafił znajdować pierwiastki sześcienne z bardzo dużych liczb. A co z małymi liczbami takim jak 2, 5 czy 7? Czy da się znaleźć taki pierwiastek dla każdej liczby? Zaraz się przekonamy. Mamy dwie kostki ulepione z plasteliny. Każda z nich ma objętość równą jednemu centymetrowi sześciennemu. Chcemy z nich ulepić jedną, większą kostkę. Będzie ona miała objętość V równa się 2 cm sześcienne. Jakie wymiary będzie miała ta kostka? Aby obliczyć długość krawędzi dużej kostki potrzebna nam będzie znajomość pierwiastka sześciennego z objętości tej kostki czyli z dwóch cm sześciennych. Czy wiesz jaka to liczba? Pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch to liczba niewymierna. Dlatego nie potrafimy precyzyjnie odpowiedzieć na pytanie, jaka będzie długość krawędzi naszej kostki. Jak widzisz, nie z każdej liczby da się wyciągnąć pierwiastek sześcienny. Należy jednak zapamiętać, że każda liczba ma swój pierwiastek sześcienny i każdy pierwiastek sześcienny jest liczbą, bo przecież liczba niewymierna to nadal liczba. Prawda? Poprzednio zobaczyliśmy, że nie zawsze da się znaleźć dokładną wartość pierwiastka sześciennego. Czasami jest on liczbą niewymierną. W takim razie, gdzie na osi liczbowej znajdzie się taka liczba? Narysujmy sobie teraz oś i zaznaczmy na niej liczby od minus dwóch do sześciu. Wcześniej mówiliśmy o pierwiastku trzeciego stopnia z dwóch. Jeżeli chcemy ten pierwiastek umieścić na osi musimy najpierw oszacować jego wartość. Szacowanie polega na przybliżonym określeniu wartości liczby na osi lub w przedziale liczbowym. Najłatwiej to będzie wytłumaczyć na przykładzie. Jak myślisz, gdzie na osi będzie się znajdować nasz pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch? Na pewno będzie większy od jednego czyli od pierwiastka trzeciego stopnia z jednego. Z drugiej strony nasz szukany pierwiastek jest na pewno mniejszy od dwóch czyli od pierwiastka trzeciego stopnia z ośmiu. Dlaczego? Bo porównując pierwiastki tego samego stopnia, porównujemy liczby które znajdują się pod pierwiastkiem. 2 jest większe od 1, ale mniejsze od 8. Widzimy zatem, że nasz pierwiastek znajduje się w przedziale między 1 a 2 czyli gdzieś tutaj. A jak myślisz, będzie bliżej jedynki czy bliżej dwójki? Można spokojnie założyć, że bliżej jedynki bo dwójka jest bliższa jedynce niż ósemce. Bardzo ciężko będzie nam wyznaczyć odpowiednią wartość samodzielnie ale możemy się posłużyć kalkulatorem. Sprawdźmy teraz, ile będzie wynosiła przybliżona wartość pierwiastka 3 stopnia z dwóch. Wynosi tyle. Weźmy inny przykład. Pierwiastek trzeciego stopnia z 36. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie oszacować wartość tego pierwiastka. Postępujemy analogicznie jak poprzednio. Pierwiastek trzeciego stopnia z 36 jest mniejszy od pierwiastka trzeciego stopnia z 64 który jest równy czterem. Jest też większy od pierwiastka trzeciego stopnia z 27 który jest równy trzem. Na osi liczbowej ten pierwiastek możemy zatem umieścić w przedziale pomiędzy 3 a 4. Sprawdźmy sobie na kalkulatorze, ile wynosi przybliżona wartość tego pierwiastka. Wynosi ona tyle. Widzimy więc, że umieściliśmy go w dobrym miejscu. A co w sytuacji, gdy będziemy chcieli dodać dwie liczby niewymierne, na przykład wspomniany pierwiastek trzeciego stopnia z 2 i pierwiastek trzeciego stopnia z 36? Czy można dodać do siebie dwie liczby niewymierne tak samo, jak dodajemy na przykład owoce lub liczby naturalne? Zazwyczaj nie. Sami potrafimy tylko oszacować wynik takiego dodawania w przybliżeniu, ale od czego mamy kalkulator. Z jego pomocą możemy sprawdzić ile będzie wynosiła suma pierwiastka trzeciego stopnia z dwóch i pierwiastka trzeciego stopnia z 36. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań obliczyliśmy najpierw przybliżoną wartość pierwiastka sześciennego z dwóch a następnie przybliżoną wartość pierwiastka sześciennego z 36. Później dodaliśmy te przybliżenia. Przybliżony wynik wynosi tyle. Liczby naturalne dodaje się dużo łatwiej. Od razu wiemy, że 1 dodać 3 to 4. Aby znaleźć długość krawędzi sześcianu, kiedy mamy daną jego objętość, korzystamy z pierwiastka sześciennego. Czasami nie udaje nam się uzyskać dokładnego wyniku, ponieważ dany pierwiastek jest liczbą niewymierną. Jeżeli chcemy znać jego przybliżenie, możemy spróbować go oszacować. Wtedy wiemy, w jakim przedziale się znajduje. Najdokładniejszą wartość poda nam jednak kalkulator. Z jego pomocą możemy też dodawać albo odejmować przybliżone wartości liczb niewymiernych. Sami nie umiemy tego zrobić. Obejrzyj pozostałe filmy o pierwiastkach sześciennych a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę: pistacja.tv