Z tego filmu dowiesz się:

  • co to jest proporcjonalność prosta,
  • jak rozpoznać wielkości wprost proporcjonalne,
  • jak obliczyć niewiadomą wartość w proporcjonalności prostej.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Zazwyczaj przygotowuję pizzę dla dwóch osób ale dzisiaj przyjdą goście i muszę przygotować jej więcej. Z tego filmu dowiesz się jak równomiernie zwiększyć ilość składników żeby pizza zachowała swój smak. Idziesz do sklepu i kupujesz baton za złoty pięćdziesiąt. Oczywiście za 2 takie batony zapłaciłbyś dwa razy złoty pięćdziesiąt, czyli 3 złote. A ile zapłaciłbyś za 3 takie batony? 3 razy 1,50zł, czyli 4 zł i 50 groszy. Na pewno jesteś w stanie teraz policzyć koszt ośmiu takich batonów. Zatrzymaj film i policz to spokojnie. Za 8 takich batonów musiałbyś zapłacić 8 razy złoty pięćdziesiąt, czyli 12 złotych. Nasze obliczenia przedstawmy teraz w tabelce. Zauważ, że jeżeli liczba batonów wzrasta dwukrotnie, ich koszt również wzrasta dwukrotnie. Jeżeli natomiast liczba batonów wzrośnie ośmiokrotnie ich koszt też wzrośnie ośmiokrotnie. Jeśli wraz ze wzrostem jednej wartości w naszym przykładzie będzie to liczba batonów tyle samo razy rośnie druga wartość u nas: koszt batonów to takie wartości nazywamy wartościami wprost proporcjonalnymi. Natomiast cena jednego batona zawsze wynosi 1,50 zł, więc jest wartością która się nie zmienia. Cena jednego batona jest to wartość stała. A ile kosztuje 30 takich batonów? Zatrzymaj film i policz to samodzielnie. Skoro jeden baton kosztuje zawsze złoty pięćdziesiąt, to za 30 takich batonów zapłacimy 30 razy złoty pięćdziesiąt, co daje nam 45 złotych. Tak więc koszt 30 batonów to 45 zł. Ile takich batonów mógłbyś kupić za 60 zł? Zatrzymaj film i policz to samodzielnie. Jeden baton oczywiście cały czas kosztuje 1,5 zł, więc za 60 zł musimy kupić pewną liczbę batonów po złoty pięćdziesiąt. Żeby obliczyć te liczbę batonów wystarczy podzielić 60 na 1,5. 60 na 1,5 to inaczej 600 przez 15, czyli 40. Za 60 zł możemy kupić więc 40 takich batonów. Zastanów się teraz czy dane wielkości są wprost proporcjonalne. Czy wiek ojca i wiek syna to wielkości wprost proporcjonalne? Przypuśćmy, że ojciec ma 30 lat. Syn ukończył pierwszy rok życia. Za 30 lat ojciec będzie miał lat 60 czyli 2 razy więcej, niż ma teraz. Natomiast syn będzie miał lat 31 czyli 31 razy więcej, niż ma teraz. 2 i 31 to oczywiście nie są te same liczby więc te wielkości nie są wielkościami wprost proporcjonalnymi. A czy droga w terenie i droga na mapie to wielkości wprost proporcjonalne? Załóżmy że mamy mapę w skali 1 : 1000. Oznacza to, że jednemu centymetrowi na mapie odpowiada 1000 centymerów w terenie. A jeżeli mamy 5 cm, czyli 5 razy większą odległość na mapie, to jaka będzie rzeczywista odległość w terenie? Zatrzymaj film i zastanów się chwilę samodzielnie. Ta odległość to oczywiście 5000 cm, czyli 5 razy więcej niż w poprzednich obliczeniach. Ile razy wzrośnie odległość na mapie tyle samo razy wzrośnie odległość w terenie. Tak więc te dwie wielkości są wielkościami wprost proporcjonalnymi. A czy długość boku kwadratu i jego pole to wielkości wprost proporcjonalne? Zatrzymaj na chwilę film i dojdź do tego sam. Niech długość boku kwadratu a to będzie 3 cm. Jego pole więc będzie wynosiło 3 do kwadratu czyli 9 cm kwadratowych. A jeżeli jego bok będzie 3 razy dłuższy to czy jego pole będzie 3 razy większe? Pole kwadratu, którego bok ma długość 9 cm to 9 do kwadratu, czyli 81 cm kwadratowych. Więc pole tego kwadratu zwiększyło się aż dziewięciokrotnie. Czyli długość boku kwadratu i jego pole to nie są wielkości wprost proporcjonalne. Grałeś kiedyś w gry komputerowe? Pewnie tak. Nie wiem jak ty, ale ja miałem często problem z przejściem wielu poziomów. Ale gdzie tu proporcja? Popatrz. Przypuśćmy, że grasz w grę której każdy poziom przechodzisz w tym samym czasie i obliczyłeś że w ciągu 7 godzin przejdziesz trzy poziomy a jeżeli będziesz grał 2 razy dłużej czyli 14 godzin, przejdziesz 6 poziomów. Zauważ, że ile razy wzrośnie liczba godzin grania, tyle samo razy wzrośnie liczba poziomów, które ukończysz. Tak więc mamy tu do czynienia z wielkościami wprost proporcjonalnymi. Dane, które zebraliśmy, przedstawmy w tabeli. Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy że x jest liczbą godzin grania, a y liczbą ukończonych poziomów. Jaką część jednego poziomu przeszedłbyś w ciągu jednej godziny grania? Zauważ, że jeżeli każdy poziom przechodzimy średnio w tym samym czasie to w ciągu jednej godziny zawsze przejdziemy tę samą część poziomu. Tak więc liczba poziomów ukończonych w godzinę jest w tym wypadku wartością stałą. Ażeby policzyć tę wielkość, wystarczy podzielić liczbę ukończonych poziomów przez liczbę godzin, które poświęciłeś na granie. Dzielimy więc 3 przez 7 albo 6 przez 14 ale przecież to to samo, więc możemy zapisać że szukana wielkość to trzy siódme. W ciągu godziny przejdziesz więc 3/7 poziomu. A ile poziomów przejdziesz, jeżeli będziesz grał w tę grę 28 godzin? Zatrzymaj film i policz to sam. Oczywiście w ciągu każdej godziny przechodzisz 3/7 poziomu, więc w ciągu 28 godzin przejdziesz 28 razy 3/7 po skróceniu 4 razy 3, czyli 12 poziomów. A jeżeli gra ma 84 poziomy jak długo będziesz w nią grał? Jeszcze raz zatrzymaj film i policz to sam. Wiemy, że liczba godzin grania razy 3/7 ma nam dać 84, więc żeby policzyć tę liczbę godzin grania, wystarczy podzielić obie strony tego równania przez 3/7. Otrzymujemy 84 przez 3/7, inaczej 84 razy 7/3. Po skróceniu: 28 razy 7, czyli 196. Żeby przejść całą grę potrzebowalibyśmy 196 godzin. Jest to ponad 8 dni i nocy, więc nie radzę ci przechodzić tej gry w jednym podejściu. Na koniec rozwiążmy zadanie z treścią. Mały komplet flamastrów kosztuje 12 zł. Komplet z trzema flamastrami więcej kosztuje 14 złotych. Sprzedawca powiedział, że w obu kompletach jeden flamaster kosztuje tyle samo. Ile flamastrów było w mniejszym komplecie? Na początku wprowadźmy oznaczenia. Niech f będzie liczbą flamastrów w mniejszym komplecie, który kosztuje 12 zł. Wtedy f plus 3 będzie liczbą flamastrów w większym komplecie, ponieważ wiemy że tam jest o 3 flamastry więcej. Komplet ten kosztuje 14 zł. Dzięki uprzejmości sprzedawcy wiemy że każdy flamaster kosztuje tyle samo więc cena za 1 flamaster jest wartością stałą. Znamy zatem cenę f flamastrów. Wiemy, ile kosztują f plus trzy flamastry. Ile zatem kosztują 3 flamastry? Trzy flamastry kosztują tyle ile wynosi różnica cen tych kompletów czyli 14 odjąć 12. 2 złote. A skoro za 3 flamastry zapłacimy 2 zł to ile kosztuje jeden flamaster? Jeden flamaster oczywiście kosztuje 2 zł na 3 czyli 2/3 złotego. Powinieneś już sam sobie poradzić z dokończeniem tego zadania. Zatrzymaj film i spróbuj policzyć liczbę flamastrów w mniejszym komplecie. Jeden flamaster kosztuje 2/3 złotego, więc f czyli liczba flamastrów w mniejszym komplecie, razy 2/3 ma dać nam 12. Obie strony równania dzielimy przez 2/3 i otrzymujemy f równe 12 przez 2/3 to 12 razy 3/2, po skróceniu 6 razy 3, czyli 18. W mniejszym komplecie było 18 flamastrów. Jeśli wraz ze wzrostem jednej wielkości druga wielkość rośnie tyle samo razy to mówimy, że takie wielkości są wprost proporcjonalne. Liczba batonów i ich koszt są wartościami wprost proporcjonalnymi, a cena jednego batona jest wartością stałą. Zachęcam cię do obejrzenia pozostałych lekcji na temat proporcji oraz zasubskrybowania naszej strony na YouTube.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krystian Gulik

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Valeriia Malyk

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Małgorzata Załoga, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg