Triangulacja, o której mówiłem na początku jednej z lekcji w tym dziale to tradycyjna metoda służąca do ustalania źródła nadawania sygnału radiowego używana chociażby przez Niemców w czasie wojny do lokalizowania polskich nadajników. W dzisiejszych czasach najczęściej stosowana jest do lokalizowania użytkowników telefonów komórkowych. W tej lekcji porozwiązujemy sobie zadania które dotyczą pola trójkąta. Pierwsze zadanie brzmi następująco. Ramiona trójkąta równoramiennego mają długość 10. Pole tego trójkąta to 48. Jaką długość mają wysokości prostopadłe do ramion? Z treści zadania wiemy że ramiona tego trójkąta mają długość 10. To są ramiona tego trójkąta. Wiemy jeszcze, że pole tego trójkąta to 48. Przypomnij sobie jakie potrzebujemy informacje do obliczenia pola trójkąta. Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Pole trójkąta obliczamy mnożąc 1/2 przez długość boku i długość prostopadłej do niego wysokości. Musimy zatem znać długość boku i długość prostopadłej do niego wysokości. Zauważ, że znamy pole tego trójkąta oraz wiemy jakie długości mają jego ramiona, czyli boki. Wróćmy teraz do pytania które jest w treści zadania. Jaką długość mają wysokości prostopadłe do ramion? Ten odcinek jest prostopadły do tego ramienia. Oznacza to, że ten odcinek jest wysokością tego trójkąta. Skoro znamy pole tego trójkąta oraz długość ramienia do którego prostopadła jest ta wysokość to jesteśmy w stanie policzyć jaką długość ma ta wysokość. Jak to zrobić? Skorzystamy z tego wzoru. Wiemy, że pole tego trójkąta to 48. W miejsce wielkiej litery P wstawiamy 48. Teraz przepisujemy 1/2. W miejsce litery a wstawiamy długość tego boku czyli długość ramienia. Wynosi ona 10. To mnożymy jeszcze przez wysokość która jest prostopadła do ramienia. Nie znamy jej. Jest ona oznaczona literą h. Zwróć uwagę, że otrzymaliśmy równanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj rozwiązać je samodzielnie. 1/2 razy 10 to inaczej połowa z dziesięciu, czyli 5. Możemy zresztą zauważyć że liczby 2 oraz 10 się skrócą. 2 podzielić przez 2 to 1 a 10 podzielić przez 2 to 5. Otrzymujemy 48 równa się 5 razy h Jak zatem obliczyć h? Wystarczy 48 podzielić przez 5. 48 podzielić przez 5 to 9,6. Obliczyliśmy długość wysokości prostopadłej do tego ramienia. Zapiszmy to jeszcze na rysunku. Długość tej wysokości to 9,6 To jeszcze nie wszystko. Mamy obliczyć długość wysokości prostopadłej do drugiego ramienia. To jest wysokość prostopadła do tego ramienia. Skoro to jest trójkąt równoramienny to oznacza to że ta wysokość jest taka sama. Oznacza to, że długość tej wysokości również wynosi 9,6. Zapiszmy jeszcze odpowiedź. Długość wysokości prostopadłych do ramion to 9,6. Rozwiążmy teraz zadanie drugie. Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach: 6 centymetrów, 8 centymetrów i 10 centymetrów. Jaką długość ma wysokość poprowadzona na bok o długości 10 centymetrów ? To jest trójkąt prostokątny o długościach boków takich, jakie mamy w treści zadania. Mamy obliczyć pole tego trójkąta. Pole trójkąta obliczamy mnożąc 1/2 przez długość boku i długość prostopadłej do niego wysokości. W tym zadaniu istotne jest to że mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym. W trójkącie prostokątnym dwa boki są do siebie prostopadłe. Oznacza to, że mamy od razu podaną bok i wysokość prostopadłą do tego boku. Przyjmijmy zatem, że ten bok będzie wysokością tego trójkąta. Jego wysokość wynosi 6 centymetrów. Podstawa tego trójkąta będzie bokiem do którego prostopadła jest nasza wysokość. W tym wzorze w miejsce litery a wstawimy zatem 8 centymetrów a w miejsce litery h wstawimy 6 centymetrów. No to do dzieła. P równa się 1/2 razy 8 centymetrów razy 6 centymetrów. Liczby 2 oraz 8 możemy skrócić dzieląc je przez 2. 2 podzielić przez 2 to 1 a 8 podzielić przez 2 to 4 1 razy 4 to 4 4 razy 6 to 24. Obliczyliśmy pole tego trójkąta. Wynosi ono 24 centymetry kwadratowe. To jeszcze nie wszystko. W treści zadania mamy takie pytanie. Jaką długość ma wysokość poprowadzona na bok o długości dziesięciu centymetrów ? W tym trójkącie ten bok jest przeciwprostokątną. Narysujmy wysokość czyli odcinek prostopadły do tego boku. Naszym zadaniem jest zatem obliczenie długości tego odcinka. Oznaczę ją literą h z indeksem dolnym 2. Jak to zrobić? Czy masz jakiś pomysł? Przed chwilą obliczyliśmy pole tego trójkąta. Pamiętaj, że pole trójkąta nie zmienia się w zależności od tego jaką parę bok-wysokość wybierzemy. Skoro w tym przypadku mamy obliczyć długość tej wysokości to do obliczenia pola, które już znamy weźmiemy ten bok. Długość tego boku oznaczę w taki sposób a z indeksem dolnym 2. Przepiszmy najpierw pole tego trójkąta. 24 centymetry kwadratowe. Ta wartość jest zatem taka sama jak iloczyn 1/2 oraz długości wysokości tego trójkąta, którą oznaczyliśmy h z indeksem dolnym 2 oraz długości tego boku czyli dziesięciu centymetrów . Spróbuj teraz samodzielnie rozwiązać to równanie. Możemy zauważyć, że liczby 2 oraz 10 się skrócą. 2 podzielić przez 2 to 1 a 10 podzielić przez 2 to 5 1 razy 5 to 5. Długość wysokości h2 otrzymany zatem dzieląc 24 centymetry kwadratowe przez 5 centymetrów. Co otrzymamy? 4,8 centymetra. Obliczyliśmy długość wysokości prostopadłej do tego boku. Wynosi ona 4,8 centymetra. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje. Teraz rozwiążemy trzecie i ostatnie zadanie w tej lekcji. W trójkącie ABC poprowadzono odcinek który podzielił pole trójkąta na dwie równe części. Podstawa jednego z tych trójkątów ma długość 2. Jaka jest długość podstawy drugiego trójkąta? Z treści zadania wiemy że pole tego trójkąta jest identyczne jak pole tego trójkąta. Pole trójkąta po lewej możemy obliczyć mnożąc 1/2 przez długość podstawy i długość prostopadłej do niego wysokości. Ten odcinek jest wysokością prostopadłą do tego boku. Oznaczmy jej długość literą h. Długość tego boku oznaczmy literą a. Pole trójkąta po lewej oznaczmy jako P z indeksem dolnym 1. Pole trójkąta po prawej oznaczmy jako P z indeksem dolnym 2. Wiemy, że te pola są identyczne. My chcemy się dowiedzieć jaka jest długość podstawy drugiego trójkąta. Oznaczmy ją literą b. Zauważ, że ta wysokość jest również prostopadła do boku b. Oznacza to, że ta wysokość jest również wysokością tego trójkąta po prawej stronie. Pole trójkąta po lewej, czyli P1 obliczymy mnożąc 1/2 przez długość podstawy, czyli przez 2 oraz przez długość prostopadłej do niej wysokości czyli przez h. Pole trójkąta po prawej czyli P2 obliczamy mnożąc 1/2 przez długość podstawy, czyli przez b oraz przez długość prostopadłej do niego wysokości. I w tym przypadku to również jest h. Wiemy, że pole trójkąta po lewej jest takie samo jak pole trójkąta po prawej. Oznacza to, że 1/2 razy 2 razy h to jest to samo co 1/2 razy b razy h Po lewej i prawej stronie mamy iloczyn trzech czynników i możemy skrócić to co występuje po stronie lewej i prawej. Skracamy zatem 1/2 oraz h. Otrzymujemy zatem, że 2 równa się b. Znaleźliśmy odpowiedź na nasze pytanie. Długość podstawy drugiego trójkąta to 2. Do obliczenia pola trójkąta zawsze wybieramy parę bok i wysokość prostopadłą do niego. Pole trójkąta ma taką samą wartość dla każdej wybranej pary bok-wysokość. Ten dział dotyczy trójkątów. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv