Z tego filmu dowiesz się:

  • że stosunek pól wielokątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
  • jak obliczyć stosunek pól znając skalę podobieństwa,
  • jak wyznaczyć skalę podobieństwa znając stosunek pól.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Jeżeli siedzisz właśnie w klasie to na Twoim biurku zapewne leży zeszyt formatu A5 lub A4. To oznaczenie określa wielkość kartki po której piszesz. Każdy kolejny arkusz ma 2 razy większą powierzchnię niż poprzedni. Dwie kartki A5 to jedna kartka A4. Dwie kartki A4 to jedna kartka A3 i tak dalej aż do A0. Mówiliśmy przed chwilą o formatach zeszytów i kartek. Zajrzyjmy więc do Twojego zeszytu od matematyki. Na pewno jest on w kratkę. Kratka w Twoim zeszycie składa się z kilkuset identycznych kwadratów. Zaznaczmy jeden z nich. Jego boki oznaczę literą a. Jakie będzie pole tego kwadratu o boku a? Oczywiście a razy a czyli a do kwadratu. A teraz zamalujmy 3 dodatkowe kratki obok tego różowego kwadratu. Zobaczmy, co nam wyjdzie. Co otrzymaliśmy? To kolejny kwadrat. Jaka jest długość jego boków? Ten odcinek ma długość a ten odcinek również ma długość a. W takim razie boki tego kwadratu mają długość 2a. Jak sądzisz czy ten kwadrat, który otrzymaliśmy o boku 2a jest podobny do tego małego kwadratu o boku a? Tak. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że dowolne dwa kwadraty zawsze są podobne. Jaka będzie skala podobieństwa tych dwóch kwadratów? Dzielimy długość boku tego kwadratu przez długość boku tego kwadratu czyli k to 2a przez a, czyli 2. Fioletowy kwadrat jest podobny do różowego w skali k równej 2. Jakie jest pole tego fioletowego kwadratu? To oczywiście długość jego boku do kwadratu, czyli 2a do kwadratu co daje 4a kwadrat. A teraz zamalujmy kolejne kratki obok tego kwadratu. Zobaczmy, co otrzymamy. Oczywiście otrzymaliśmy kolejny kwadrat. Jaka jest długość jego boku? Ten odcinek ma długość a. Ten również ma długość a. W takim razie długość boku tego kwadratu wynosi 3a. Jak sądzisz, jaka jest skala podobieństwa tego dużego żółtego kwadratu i tego małego różowego kwadratu? To stosunek długości ich boków. 3a przez a czyli 3. A jakie jest pole tego dużego kwadratu? To 3a razy 3a czyli 3a do kwadratu, czyli 9a kwadrat. Zbadajmy teraz stosunek pól żółtego oraz fioletowego kwadratu do pola różowego kwadratu. Jaki będzie stosunek pola fioletowego kwadratu do pola różowego kwadratu? To 4a kwadrat przez a kwadrat, czyli 4. Zauważ, że 4 to 2 do kwadratu a 2 tyle wynosiła skala podobieństwa. A jak wygląda sprawa z żółtym i różowym kwadratem? Stosunek pól to 9a kwadrat przez a kwadrat czyli 9 a 9 to 3 do kwadratu. Skala podobieństwa w tym przypadku wynosiła 3. Widzimy tutaj dokładnie to samo co w przypadku trójkątów. Stosunek pól wielokątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Mamy teraz takie zadanie. Pięciokąt ABCDE ma pole równe 15 centymetrom kwadratowym. a pięciokąt podobny A'B'C'D'E' ma pole równe 60 centymetrom kwadratowym. Długość przekątnej A'C' wynosi 6 centymetrów. Jaka jest długość przekątnej AC? O czym mówi to zadanie? O dwóch podobnych pięciokątach. Co o nich wiemy? Znamy ich pola. Pole pierwszego to 15 centymetrów kwadratowych a pole drugiego 60. Co jeszcze wiemy? Znamy długość przekątnej A'C' w drugim pięciokącie. A czego szukamy? Szukamy długości przekątnej AC w pierwszym pięciokącie. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie narysować odpowiedni rysunek. Następnie włącz film ponownie i porównaj go z moim. Oto te dwa pięciokąty. Zaznaczyłem ich pola oraz ich przekątne. Szukaną przekątną AC oraz A'C'. Wiemy, że ma ona długość 6 centymetrów. Jak rozwiązać to zadanie? Czy to są dowolne pięciokąty? Nie. Są to pięciokąty podobne. Nie bez powodu mamy podaną długość tej przekątnej. Jaki odcinek w tym pięciokącie odpowiada temu odcinkowi A'C'? Oczywiście przekątna AC. Skoro są to figury podobne to stosunek A'C' do AC jest równy skali podobieństwa k. Pamiętaj, że w figurach podobnych proporcjonalne są odpowiadające odcinki nie tylko boki również przekątne. Nie znamy jednak tej skali. Co jednak mówiliśmy przed chwilą? Że kwadrat skali podobieństwa to stosunek pól figur podobnych. A znamy pola tych figur. Zatrzymaj teraz film i spróbuj wyznaczyć skalę podobieństwa. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Wiemy, że k do kwadratu to 60 centymetrów kwadratowych przez 15 centymetrów kwadratowych czyli 4. W takim razie k to pierwiastek z czterech, czyli 2. W takim razie 6 centymetrów przez długość przekątnej AC równa się 2. Teraz zastanówmy się przez jaką liczbę należy podzielić 6 aby otrzymać 2? Zatrzymaj film i spróbuj ją odgadnąć samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Aby otrzymać 2 należy 6 podzielić przez 3. W takim razie długość przekątnej AC to 3 centymetry. Gratulacje! A tutaj mamy kolejne zadanie. Mamy kwadrat o bokach długości 2a. Połączono kolejne środki boków tego kwadratu i w ten sposób utworzono drugi kwadrat. Jaka jest skala podobieństwa tych dwóch kwadratów? Przeczytaj spokojnie treść zadania jeszcze raz i spróbuj samodzielnie zrobić odpowiedni rysunek. Mamy kwadrat o bokach długości 2a. Oto on. Łączymy kolejne środki boków tego kwadratu. Zobaczmy, jak to wygląda. Zaznaczyłem środki kolejnych boków. Teraz należy je połączyć i w ten sposób otrzymaliśmy kwadrat. Co teraz musimy zrobić? Musimy teraz wyznaczyć skalę podobieństwa tych dwóch kwadratów. Wiemy, że skala podobieństwa to stosunek odpowiadających boków w figurach podobnych a każde dwa kwadraty są podobne. Znamy długości boków tego dużego kwadratu. Musimy więc jakoś określić długości boków tego małego kwadratu. Zauważ, że w tym dużym pomarańczowym kwadracie oprócz tego zielonego kwadratu mamy jeszcze inne figury. To cztery trójkąty. Zaznaczmy je. Zauważ, że wszędzie tutaj jest kąt prosty. W takim razie te cztery trójkąty są trójkątami prostokątnymi. Zwróć uwagę, że ich przeciwprostokątna to bok zielonego kwadratu. A jakie są długości przyprostokątnych? Skoro te boki mają długość 2a a te dwa punkty dzielą te boki na pół to ten odcinek będzie miał długość a a ten również a. Przeciwprostokątną oznaczmy jako x. Czy możemy wyznaczyć teraz x? Oczywiście tak. Z twierdzenia Pitagorasa. Spróbuj ją wyznaczyć samodzielnie. Uzyskujemy takie równanie a kwadrat dodać a kwadrat to x kwadrat czyli 2a kwadrat to x kwadrat i otrzymujemy, że x to a pierwiastków z dwóch. Mieliśmy wyznaczyć skalę podobieństwa czyli musimy podzielić a pierwiastków z dwóch przez 2a. Otrzymujemy, że k to pierwiastek z dwóch przez 2. Super, ale jest jeszcze jeden sposób na rozwiązanie tego zadania. Zauważ, że nasz duży pierwotny kwadrat możemy podzielić w odpowiedni sposób na 8 identycznych trójkątów prostokątnych. Jeżeli jeden z nich ma pole P to pole dużego kwadratu wynosi 8P. A ile wynosi pole zielonego kwadratu? On składa się z czterech takich trójkątów czyli to będzie 4P. Wiemy, że te dwie figury są podobne i mamy podane ich pola. Spróbuj wyznaczyć skalę podobieństwa wykorzystując stosunek pól tych figur. Wiemy, że kwadrat skali podobieństwa to stosunek pól, czyli 4P przez 8P. To daje 4/8, czyli 2/4. Aby obliczyć k musimy wyznaczyć pierwiastek z 2/4 a to pierwiastek z dwóch przez 2. Otrzymaliśmy dwie takie same skale podobieństwa. Dobra robota. Stosunek pól wielokątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Jeśli wielokąty są podobne to odpowiednie odcinki w tych wielokątach są proporcjonalne, nie tylko boki ale również wysokości i przekątne. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o podobieństwie figur. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Joanna Mędrzycka

Materiały: Agnieszka Banasikowska, Valeriia Malyk

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg