Z tego filmu dowiesz się:

  • jak znając pole powierzchni graniastosłupa obliczyć jego objętość,
  • jak znając objętość graniastosłupa obliczyć jego pole powierzchni.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

W jednej z wrocławskich galerii handlowych znajduje się w wielkie akwarium w kształcie graniastosłupa na około 120 000 litrów wody. Wśród ryb zamieszkujących to akwarium możemy zaobserwować między innymi rekiny. Rozwiążmy takie zadanie. Wiedząc, że pole jednej ściany bocznej wynosi 15 centymetrów kwadratowych a wysokość 5 centymetrów oblicz pole powierzchni oraz objętość poniższego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Wypiszmy teraz wszystkie dane które podano nam w treści zadania. Co wiemy o pozostałych ścianach bocznych? Wiemy, że pole każdej ze ścian bocznych ma dokładnie 15 centymetrów kwadratowych. Jest tak, ponieważ mamy tu do czynienia z graniastosłupem prawidłowym. A jak pamiętasz, w tych graniastosłupach ściany boczne są przystającymi prostokątami. Mają te same wymiary więc i pola mają te same. Co jeszcze wiemy z treści zadania? Wiemy również, że wysokość graniastosłupa to 5 centymetrów. A skoro mamy do czynienia z graniastosłupem prawidłowym czworokątnym to wiemy, że w jego podstawie znajduje się kwadrat. Gdybyśmy ustalili, jaka jest długość krawędzi podstawy moglibyśmy w bardzo prosty sposób obliczyć pole powierzchni oraz objętość. Masz pomysł jak to zrobić? Spróbujmy zatem wyznaczyć wartość a. Zauważ, że każda ściana boczna jest prostokątem o wymiarach a centymetrów na 5 centymetrów. Skorzystajmy ze wzoru na pole prostokąta: P równa się a razy b. Za P podstawimy 15, a pozostawiamy a za b wstawimy 5. Mamy 15 równa się a razy 5. Aby wyznaczyć a dzielimy obie strony równania przez 5. Otrzymamy ostatecznie że a jest równe trzem centymetrom. Świetnie! Teraz bez problemu obliczymy pole podstawy, objętość i pole powierzchni całkowitej. Zacznijmy od pola podstawy. Pole podstawy obliczymy podnosząc a do kwadratu. Obliczyliśmy, że krawędź podstawy ma 3 centymetry. Zatem za a podstawimy 3 i da nam to ostatecznie 9 centymetrów kwadratowych. A teraz wróćmy do wzoru na objętość. Jak pamiętasz, wygląda on następująco: V równa się pole podstawy razy wysokość. Dostaniemy zatem 9, bo tyle wynosi pole podstawy razy 5, bo tyle wynosi wysokość graniastosłupa i po wymnożeniu otrzymamy 45 centymetrów sześciennych. Znamy już objętość. Obliczmy teraz pole powierzchni. Przypomnę, że pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian podstaw oraz ścian bocznych. Wiemy, że pole każdej ze ścian bocznych ma dokładnie 15 centymetrów kwadratowych. Wiemy również, że pole podstawy ma 9 centymetrów kwadratowych. Pole powierzchni obliczymy w ten sposób: mnożąc 2 razy 9, bo mamy dwie podstawy każda po 9 centymetrów kwadratowych dodać 4 razy 15, bo mamy 4 ściany boczne każda po 15 centymetrów kwadratowych. Da nam to łącznie 78 centymetrów kwadratowych. Dla treningu rozwiążmy jeszcze jedno zadanie: oblicz powierzchnię graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości równej sześciu decymetrom i objętości równej siedemdziesięciu dwóm pierwiastkom z trzech decymetrów sześciennych. Chcąc obliczyć pole powierzchni graniastosłupa, musimy obliczyć długość krawędzi podstawy. Wiemy, że objętość wynosi 72 pierwiastki z trzech decymetrów sześciennych. Spróbujmy zatem podstawić do wzoru na objętość, znane nam wartości. Otrzymamy 72 pierwiastki z trzech równa się pole podstawy razy 6. Podzielmy stronami przez 6. Otrzymamy w ten sposób, że pole podstawy to 12 pierwiastków z trzech decymetrów kwadratowych. Świetnie! Teraz bez problemu obliczymy długość krawędzi podstawy. Czy wiesz jak to zrobić? W podstawie mamy trójkąt równoboczny. Zatem pole takiego trójkąta można wyznaczyć ze wzoru. Pp równa się a kwadrat pierwiastków z trzech przez 4. Wiemy, że w naszym przypadku pole podstawy to 12 pierwiastków z trzech. Mamy zatem 12 pierwiastków z trzech równa się a kwadrat pierwiastków z trzech przez 4. Pomnóżmy obie strony równania przez 4. Da nam to 48 pierwiastków z trzech równa się a kwadrat pierwiastków z trzech. Pozbądźmy się pierwiastka z trzech. Zrobimy to, dzieląc obie strony przez pierwiastek z trzech. W wyniku takiego działania otrzymamy: a kwadrat równa się 48. Czyli a równa się pierwiastek z czterdziestu ośmiu. 48 możemy zapisać również jako 16 razy 3 a po wyłączeniu czwórki przed pierwiastek otrzymamy ostatecznie że a to 4 pierwiastki z trzech decymetrów. Przygotujmy teraz sobie trochę miejsca na tablicy na dalsze obliczenia. Pozostawmy jedynie pole podstawy oraz długość krawędzi podstawy. Musimy jeszcze obliczyć pole każdej ze ścian bocznych. Skoro w podstawie mamy figurę foremnę to wiemy, że każda ze ścian bocznych będzie prostokątem o wymiarach: 6 decymetrów na 4 pierwiastki z trzech decymetrów. Pole każdej ze ścian bocznych obliczymy mnożąc 4 pierwiastki z trzech razy 6. I da nam to 24 pierwiastki z trzech decymetrów kwadratowych. Teraz jesteśmy już w stanie wyznaczyć pole powierzchni całkowitej. Otrzymamy: 12 pierwiastków z trzech razy 2, no bo mamy dwie podstawy dodać 24 pierwiastki z trzech razy 3, bo mamy 3 ściany boczne każda o polu 24 pierwiastki z trzech. Da nam to 24 pierwiastki z trzech dodać 72 pierwiastki z trzech i po zsumowaniu tych dwóch liczb otrzymamy 96 pierwiastków z trzech decymetrów kwadratowych. Jeśli masz w zadaniu pole powierzchni a masz policzyć objętość lub na odwrót postaraj się postępować zgodnie z instrukcją przedstawioną na planszy. Jeśli film Ci się spodobał i chcesz zobaczyć więcej naszych materiałów zachęcam Cię do zasubskrybowania naszego kanału oraz odwiedzenia strony pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Agnieszka Opalińska, Arkadiusz Sas

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Grzegorz Jakubiec, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Thomas_Ritter (CC0)
OpenClipart-Vectors (CC0)
OpenClipart-Vectors (CC0)
PIRO4D(CC0)
JordyMeow (CC0)
Taken (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg