Podróżując pociągami, można się natknąć na najróżniejsze rodzaje przedziałów. W tej lekcji opowiem Ci z jakimi przedziałami możesz się spotkać w matematyce. Przedział liczbowy jest to zbiór liczb na osi liczbowej między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru początkiem i końcem przedziału. Przedział może być zamknięty i otwarty lub jednostronnie otwarty. Co to oznacza? Dowiesz się w dalszej części tego filmu. Rozwiążmy takie zadanie. Jakie liczby spełniają warunek x jest większe od -2 i x jest mniejsze od 2? Zaznacz je na osi liczbowej i zapisz przedział. Mamy podany przedział A gdzie x są większe od -2 i mniejsze od 2. Znajdźmy początek i koniec naszego przedziału. Początkiem przedziału będzie liczba -2. Szukamy takich liczb x które są większe od -2, a więc samo -2 do naszego przedziału nie należy a jedynie wyznacza nam początek tego przedziału. W takim razie początek naszego przedziału jest otwarty dlatego -2 zaznaczamy kółeczkiem otwartym. I zaznaczmy wszystkie liczby które są większe od -2. Przejdźmy do końca przedziału. Szukamy takich liczb x które są mniejsze od dwóch czyli tak jak w przypadku -2 koniec naszego przedziału oznaczamy kółeczkiem otwartym bo również nie należy do przedziału a jedynie wyznacza jego koniec. Wiedząc to, możemy zaznaczyć wszystkie liczby mniejsze od dwóch. Szukaliśmy takich liczb x które są jednocześnie większe od -2 i mniejsze od 2. Są to te liczby ograniczone częścią wspólną naszych dwóch narysowanych przedziałów. O tutaj. Teraz możemy zapisać przedział. x należy do przedziału lewostronnie otwartego od -2 do 2 prawostronnie otwartego. A więc x należy do przedziału otwartego od -2 do 2. W ten sposób rozwiązaliśmy całe zadanie. Rozwiążmy kolejne zadanie. Zaznacz przedziały na osi liczbowej i wyznacz ich sumę, różnicę i iloczyn. Przedziały tak jak zbiory możemy sumować odejmować i wyznaczać ich część wspólną. Mamy podany przedział A obustronnie zamknięty od -3 do 4 i przedział B, lewostronnie otwarty od zera do pięciu prawostronnie zamknięty. Przedział A jest przedziałem obustronnie zamkniętym od -3 do 4. To znaczy, że zarówno początek naszego przedziału, jak i jego koniec należą do przedziału. Jak pamiętasz, przedział zamknięty oznaczamy kółeczkiem zamkniętym. Zróbmy to. Teraz możemy narysować nasz przedział A na na osi liczbowej. Przejdźmy do przedziału B. Zatrzymaj film, zaznacz przedział B na osi, a następnie porównaj swój rysunek z moim. Przedział B jest jednostronnie otwarty w początku przedziału, dlatego 0 oznaczamy kółeczkiem otwartym. Z kolei koniec przedziału jest zamknięty więc 5 oznaczamy kółeczkiem zamkniętym. Teraz wystarczy tylko narysować nasz przedział B i pierwszą część zadania mamy już wykonaną. Przejdźmy do sumy przedziałów A i B. Jak pamiętasz z poprzedniej lekcji sumę zbiorów, a więc i przedziałów możemy skojarzyć z wlewaniem wszystkich elementów naszych przedziałów do kubka. Nasza suma przedziałów zaczyna się w domkniętym początku przedziału A a więc w - 3 a kończy się w domkniętym końcu naszego przedziału B, czyli w piątce. A więc suma przedziałów A i B to przedział obustronnie zamknięty od -3 do 5. W ten sposób zapisaliśmy sumę przedziałów. Przejdźmy więc do iloczynu przedziałów. Polega on na wyznaczeniu części wspólnej przedziałów a więc iloczynem przedziału A i B będzie ten obszar. Jak widzisz, cześć wspólna to przedział od zera do 4. 0 nie należy do naszej części wspólnej przedziałów ponieważ należy tylko do przedziału A. Z kolei 4 do części wspólnej należy ponieważ zarówno należy do przedziału A, jak i B. W takim razie zapiszmy nasz iloczyn. Część wspólna przedziałów A i B zaczyna się w zerze i kończy w czterech. Przejdźmy do różnicy. Jeśli chcemy odjąć od przedziału A przedział B to musimy odciąć od przedziału A wszystkie te elementy które są w przedziale B. Możemy więc zacząć od -3 i zakończyć w zerze, ponieważ 0 należy do przedziału A ale nie należy do przedziału B. Teraz zatrzymaj film i wyznacz samodzielnie różnicę przedziałów B odjąć A. Różnica przedziałów B odjąć A oznacza, że od przedziału B odcinamy wszystkie te elementy które należą do przedziału A. Więc nasza różnica zaczyna się w czwórce ponieważ czwórka należy do przedziału A i kończy się w piątce tak jak przedział B. W ten sposób zapisaliśmy sumę różnicę i iloczyn przedziałów A i B. Zróbmy jeszcze jedno zadanie. Zaznacz przedziały na osi liczbowej wyznacz ich sumę, różnicę i iloczyn. Zatrzymaj film i zaznacz przedziały na osi liczbowej samodzielnie a następnie porównaj swój rysunek z moim. Przedział A zaczyna się od -2 w przedziale domkniętym i kończy się w 4 w przedziale otwartym. Przedział B zawiera w sobie wszystkie liczby większe od 5 i mniejsze od 6 a więc jest przedziałem obustronnie otwartym od 5 do 6. Wyznaczmy iloczyn przedziałów A i B. Jak widzisz, przedziały te są rozłączne a więc nie posiadają części wspólnej. W takiej sytuacji iloczynem przedziałów A i B będzie zbiór pusty. Zapisujemy go w ten sposób. Zajmijmy się teraz sumą przedziałów. W sytuacji, gdy nasze przedziały są rozłączne to nie możemy zapisać sumy w formie jednego przedziału a musimy zapisać oba przedziały. A więc sumą przedziałów A i B będzie przedział A lewostronne zamknięty od -2 do 4 prawostronnie otwarty i przedział B obustronnie otwarty od 5 do 6. Zapiszmy jeszcze różnicę przedziałów A i B. Skoro przedziały są rozłączne to po odjęciu od przedziału A wszystkich elementów przedziału B dalej pozostanie nam przedział A. To właśnie on jest wynikiem różnicy przedziałów A i B. Zapiszmy go. Została nam jeszcze różnica przedziałów B odjąć A. Podobnie jak w poprzedniej różnicy po odjęciu od przedziału B przedziału A zostaje nam przedział B a więc wynikiem tego działania będzie przedział obustronnie otwarty od 5 do 6. W ten sposób rozwiązaliśmy kolejne zadanie i poznaliśmy różne rodzaje przedziałów i działań, które możemy wykonać na przedziałach. Przedział liczbowy jest podzbiorem liczb rzeczywistych. Jeśli przedział jest domknięty to liczby wyznaczające krańce przedziału należą do tego przedziału. Jeśli przedział jest otwarty to liczby wyznaczające krańce przedziału nie należą do tego przedziału. Zapraszam Cię do obejrzenia wszystkich filmów z tej playlisty oraz do polubienia naszego fanpage'a na Facebooku PistacjaMatematyka.