Nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą - wprowadzenie

Playlista: Równania i nierówności liniowe

Z tego filmu dowiesz się:


  • czym są nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą,
  • czym są nierówności ostre i nieostre,
  • w jakich praktycznych problemach wykorzystuje się nierówności,
  • jak rozwiązywać zadania tekstowe przy pomocy nierówności,
  • jak rozwiązywać nierówności podwójne,
  • jak oznaczać rozwiązanie nierówności na osi liczbowej oraz jak zapisywać je w postaci przedziału.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Patryk Bojarski

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


Clker-Free-Vector-Images (CC0)
Katalyst Education (CC BY)

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Google Classroom
Microsoft Teams

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Link do tej strony
Link do filmu na YouTube

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Chcesz łatwo zapamiętać, jak poprawnie stawiać znak nierówności? Podpowiem ci dwie mnemotechniki. Większa liczba stoi zawsze po szerszej stronie znaku nierówności. Mniejsza to ta, na którą wskazuje strzałka, jaką przypomina ten znak. Właściciel klubu organizuje koncert. Znalazł zespół muzyczny, który spełnia jego oczekiwania. Honorarium muzyków wynosi 1400 zł plus 5 zł od każdego sprzedanego biletu. Organizator imprezy sprzedaje bilet po 15 zł. Ile osób musiałoby wziąć udział w wydarzeniu, aby właściciel klubu na tym zarobił? Jak możemy rozwiązać to zadanie? Na początek sprawdźmy, czy właścicielowi opłaci się ta impreza, jeśli na koncert przyjdzie 100 osób. Przychód ze sprzedaży biletów wyniesie wtedy 100 razy 15 zł, czyli 1500 zł. Muzykom będzie musiał zapłacić 1400 zł dodać 100 razy 5 zł, czyli w sumie 1900 zł. Przychód organizatora będzie wtedy mniejszy niż koszta, jakie poniesie. A co, jeśli na koncert przyszłoby 200 osób? Spróbuj obliczyć to samodzielnie. Przychód ze sprzedaży biletów wyniesie 200 razy 15 zł, czyli 3000 zł. Honorarium zespołu w tym przypadku wynosić będzie 1400 zł dodać 200 x 5 zł, czyli 2400 zł. Widzimy, że jeśli na koncert przyjdzie 200 osób, właściciel na tym zyska, ponieważ jego przychód, czyli 3000 zł, jest większy od kosztów zatrudnienia zespołu, czyli od 2400 zł. Czy jest to jedyne rozwiązanie? Nie. Zobacz, że jeśli na koncert przyszłoby na przykład 199 osób, to i tak właściciel klubu na tym zarobi. Ile osób musi przyjść, aby właściciel już zarobił? Oznaczmy sobie liczbę zakupionych biletów literą n. Przychód organizatora wyniesie wtedy n razy 15 zł. Ta kwota musi być większa od kosztów, dlatego piszemy, że to wyrażenie jest większe od 1400 zł dodać n razy 5. Otrzymaliśmy nierówność. Nierówności rozwiązujemy podobnie jak równania. Aby uprościć sobie obliczenia, przepiszmy nasze wyrażenie, pozbywając się jednostek. Przenieśmy 5n na lewą stronę, pamiętając o zmianie znaku. Dostajemy 15n odjąć 5n jest większe od 1400. Wykonujemy odejmowanie i otrzymujemy 10n jest większe od 1400. Następnie dzielimy obie strony nierówności przez 10 i dostajemy: n jest większe od 140. Jest to nasze rozwiązanie. Aby właściciel klubu zarobił na organizacji koncertu, bilet musiałoby kupić więcej niż 140 osób. Schrup orzeszka, a za chwilę opowiem ci o różnych typach nierówności. Zostawmy na ekranie tylko nieprzekształcone wyrażenie z poprzedniego zadania i porozmawiajmy o nierównościach. Nierówności liniowe z jedną niewiadomą wyglądem przypominają równania, jednakże zamiast znaku równości zawierają symbol nierówności. Na przykład: 2 razy z plus 15 jest mniejsze od minus 30. 1/2 razy x jest większe niż 1 odjąć x. O takich nierównościach mówimy, że są ostre bądź mocne. Zawierają one znak mniejszości czytany zazwyczaj jako „mniejsze niż” lub znak większości, czytany zazwyczaj jako „większe niż”. Jak możesz się domyślać, istnieją jeszcze nierówności nazywane nieostrymi bądź słabymi, na przykład 2x plus 13 jest większe bądź równe 5; 76 plus 3z jest mniejsze bądź równe 2z; lub 8y jest większe bądź równe 2y dodać 5. W nierównościach tych pojawiają się dwa nowe symbole: większe bądź równe oraz mniejsze bądź równe. W nierównościach liniowych z jedną niewiadomą, takich jak na ekranie, niewiadoma występuje w pierwszej potędze. Dlatego matematycy nazywają je też nierównościami pierwszego stopnia. Podobnie jak równania, istnieją też nierówności z kilkoma niewiadomymi występującymi w różnych potęgach, na przykład taka nierówność: x kwadrat dodać y kwadrat jest mniejsze od 16, której rozwiązaniem są współrzędne wszystkich punktów leżących wewnątrz okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 4. Jednak takie nierówności leżą poza zakresem tej playlisty. Do rozwiązania mamy taką nierówność: minus 3x odjąć 12 jest większe bądź równe minus 21. Na początku minus 12 przenosimy na prawą stronę. Mamy więc minus 3x jest większe bądź równe minus 21 dodać 12. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy minus 3x jest większe bądź równe minus 9. Co zrobić, żeby otrzymać x? Wypadałoby podzielić obie strony nierówności przez minus 3. Ale uwaga! Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musimy pamiętać o zmianie zwrotu nierówności. Po podzieleniu otrzymujemy x jest mniejszy bądź równy 3. Zaznaczmy to rozwiązanie na osi liczbowej. Rozwiązaniem są liczby mniejsze bądź równe 3, czyli na lewo od tej liczby. 3 również należy do tego rozwiązania. Oznaczmy to zamalowując ten punkt. Spróbujmy jeszcze zapisać to rozwiązanie w postaci przedziału. x należy do przedziału prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do 3. Znając już zasady postępowania z nierównościami, spróbuj samodzielnie rozwiązać taką nierówność. 2y dodać 15 jest mniejsze od 8y odjąć 9. Na początku przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą pamiętając o zmianie znaków. Otrzymujemy 2y odjąć 8y jest mniejsze od minus 9 odjąć 15. Po wykonaniu obliczeń dostajemy minus 6y jest mniejsze od minus 24. Obie strony nierówności dzielimy przez minus 6. Jako że dzieliliśmy przez liczbę ujemną, to musimy zmienić zwrot nierówności. Dlatego zamieniamy znak „mniejsze niż” na „większe niż”. Rozwiązaniem naszej nierówności są zatem wszystkie y większe od 4. Zaznaczmy to na osi liczbowej. Rozwiązaniem są liczby większe od czyli leżące na prawo od tej liczby. 4 nie należy do tego przedziału, dlatego zostawiamy niezamalowany punkt. Zapiszmy rozwiązanie w postaci przedziału: y należy do przedziału od 4 do nieskończoności. Przejdźmy teraz do ostatniego zadania. Znajdź liczby, dla których wyrażenie 4x dodać 5 jest jednocześnie większe od 1 i mniejsze od 17. Treść zadania moglibyśmy zapisać w ten sposób: 1 jest mniejsze od 4x dodać 5 jest mniejsze od 17. Spójrz na to wyrażenie. Możemy wyodrębnić dwie nierówności: 1 jest mniejsze od 4x dodać 5 oraz 4x dodać 5 jest mniejsze od 17. Możemy teraz je rozwiązać. Zacznijmy od tej pierwszej, Przenoszę piątkę ze zmienionym znakiem na lewą stronę. 1 odjąć 5 to minus 4. Po prawej stronie zostaje nam 4x. Obie strony tej nierówności dzielę przez 4. Otrzymuję: minus 1 jest mniejsze od x. Innymi słowy x jest większe od minus 1. Teraz pora na drugą nierówność. 5 przenoszę na prawą stronę pamiętając o zmianie znaku. 17 odjąć 5 to 12. Po prawej stronie zostaje nam 4x. Obie strony dzielę przez 4 i otrzymuję: x jest mniejsze od trzech. Następnie musimy znaleźć liczby, które jednocześnie spełniają obie te nierówności. Rysując rozwiązania na osi najłatwiej jest nam to odczytać. Rozwiązaniem tej nierówności jest część wspólna obu tych przedziałów. Czy jesteś w stanie zapisać już odpowiedź? Częścią wspólną jest przedział od minus 1 do 3. Zatem piszemy, że x należy do przedziału otwartego od minus 1 do 3. Zwróć uwagę, że w przypadku, kiedy nasza niewiadoma musi spełniać więcej niż jedną nierówność, łatwiej jest zapisać rozwiązanie w postaci zbioru. Aby rozwiązać nierówność liniową z jedną niewiadomą, postępujemy podobnie, jak przy rozwiązywaniu równań. Pamiętaj! Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, należy zmienić zwrot nierówności na przeciwny. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o rozwiązywaniu nierówności liniowych, to zapraszam cię do obejrzenia innych filmów z tej playlisty. Zachęcam cię również do odwiedzenia naszej strony na Facebooku: PistacjaMatematyka.

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by