Z tego filmu dowiesz się:

  • czym są i jak oznacza się funkcje wielomianowe,
  • jak obliczać wartości funkcji wielomianowych,
  • czym jest pierwiastek wielomianu,
  • jak sprawdzać, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu,
  • jak wyglądają wykresy funkcji wielomianowych,
  • co wspólnego ma liczba pierwiastków wielomianu z jego stopniem.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Na pewno znasz już funkcje takie jak sinus cosinus, logarytm, czy tangens. Ale czy wiedziałeś, że każdą z nich można zapisać w postaci wielomianu o nieskończonej liczbie wyrazów tak zwanego szeregu Taylora? Pytasz po co? Po to, żeby zamiast zajmować się liczeniem ich na piechotę zadać to komputerowi. Komputery liczą takie szeregi bardzo sprawnie, ponieważ występują w nich wyłącznie elementarne działania dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Im więcej wyrazów obliczy tym dokładniejszy wynik dostaniesz. Wielomiany możemy traktować jak wyrażenia algebraiczne albo jak funkcje. Pokażę Ci to na przykładzie. x do trzeciej odjąć 2x kwadrat odjąć x dodać 2. Jeśli chcemy podkreślić że jest to funkcja to zapisujemy to zazwyczaj jako W od x równa się i tutaj jest nasz wielomian. Wielkiej litery W używamy najczęściej ponieważ kojarzy się z wielomianem ale można używać dowolnej innej wielkiej litery alfabetu. Wielomian, tak jak każda funkcja posiada argumenty i wartości. Znając wzór, możemy w prosty sposób dla danego argumentu wyznaczyć jego wartość. Spróbujmy obliczyć wartość tego wielomianu dla argumentu równego 3. W miejsce x podstawiamy trójkę i obliczamy wartość takiego wyrażenia. W od 3 równa się 3 do trzeciej odjąć 2 razy 3 kwadrat odjąć 3 dodać 2. Wykonujemy obliczenia pamiętając o kolejności wykonywania działań. Najpierw potęgujemy i mamy 27 odjąć 2 razy 9 odjąć 3 dodać 2. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy 8. Zatem nasz wielomian dla argumentu 3 przyjmuje wartość 8. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Spróbuj obliczyć wartość tego wielomianu dla argumentu minus 2. Podobnie jak poprzednio w miejsce x podstawiamy minus 2 i zapisujemy. W od minus 2 równa się minus 2 do potęgi trzeciej odjąć 2 razy minus 2 do kwadratu odjąć minus 2 dodać 2. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań najpierw potęgujemy. Minus 2 do trzeciej to minus 8. Od tego odejmujemy 2 razy 4 bo minus 2 do kwadratu to 4. 2 minusy dają plus dlatego piszemy dodać 2 i dodać 2. Otrzymujemy minus 12. W takim razie, nasz wielomian przyjmie wartość minus 12 dla argumentu minus 2. Spróbuj teraz obliczyć wartość tego wielomianu dla argumentu równego 1. Tak, jak w poprzednich przypadkach w miejsce x podstawiamy 1 i otrzymujemy: W od 1 równa się 1 do trzeciej odjąć 2 razy 1 do kwadratu odjąć 1 dodać 2. Niezależnie, do której potęgi podniesiemy jedynkę i tak otrzymamy 1. Mamy więc 1 odjąć 2 odjąć 1 dodać 2 co jest równe zeru. Argumenty, dla których wielomian przyjmuje wartość zero nazywamy pierwiastkami wielomianu. Możemy zapisać, że to takie x dla których W od x równa się zero. W kolejnych filmach poznasz nie tylko sposoby szukania pierwiastków wielomianu ale zobaczysz również do czego się to przydaje. Wróćmy do naszego wielomianu. Sprawdź, czy jego pierwiastkami są zero lub minus 1. Dla argumentu zero otrzymujemy zero do trzeciej odjąć 2 razy zero kwadrat odjąć zero dodać 2. A to jest równe 2 zatem zero nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. Dla argumentu minus 1 otrzymujemy minus 1 do potęgi trzeciej odjąć 2 razy minus 1 do kwadratu odjąć minus 1 dodać 2. Po obliczeniach otrzymujemy minus 1 odjąć 2 dodać 1 dodać 2, czyli zero. Zatem minus jest poszukiwanym pierwiastkiem tego wielomianu. Spróbujmy teraz zrobić takie zadanie: wyznacz parametry a i b wielomianu W od x równa się x do czwartej dodać ax do trzeciej odjąć 8ax kwadrat odjąć ax dodać b jeśli wiadomo, że dla argumentu zero przyjmie on wartość 15 a jedynka jest jego pierwiastkiem. Przeanalizujmy znane informacje. Wiemy, że dla argumentu zero wielomian przyjmie wartość 15. Możemy zatem zapisać że W od 0 równe jest 15. Z treści zadania znamy również postać tego wielomianu dlatego w miejsce x możemy podstawić zero. Mamy więc zero do potęgi czwartej dodać a razy zero do potęgi trzeciej odjąć 8a razy zero do kwadratu odjąć a razy zero dodać b. Zwróć uwagę, że wszędzie tam gdzie występują zera w wyniku też otrzymamy zera. Pozostanie nam jedynie b równe 15. Znamy już pierwszy parametr, czyli b. A co z drugim? Spróbuj wyznaczyć go samodzielnie korzystając z informacji, że jedynka jest pierwiastkiem tego wielomianu. Skoro jedynka jest pierwiastkiem W od x to możemy zapisać że W od 1 równa się zero. W miejsce x podstawiamy jedynkę i otrzymujemy: 1 do potęgi czwartej dodać a razy 1 do potęgi trzeciej odjąć 8a razy 1 do kwadratu odjąć a razy 1 dodać 15. Jest to równanie liniowe. 1 do jakiejkolwiek potęgi do nam 1. Mamy więc 1 dodać a odjąć 8a odjąć a dodać 15 równa się zero. Przenosimy liczby na prawą stronę i wykonujemy obliczenia. a się zredukuje i otrzymujemy minus 8a równa się minus 16. Dzielimy obie strony przez minus 8 i dostajemy wartość a. Nasze a równe jest 2. Możemy już podać odpowiedź. Dla naszego wielomianu a równa się 2 a b równa się 15. Zacznijmy od narysowania wykresu wielomianu z początku filmu czyli W od x równa się x do trzeciej odjąć 2x kwadrat odjąć x dodać 2. Nie będę Cię uczył jak go narysować ale pokażę Ci jak wygląda. Wykorzystamy do tego program matematyczny. To jest wykres tej funkcji. Jej dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Czy potrafisz wskazać gdzie na wykresie znajdują się punkty odpowiadające pierwiastkom tego wielomianu? Są to punkty dla których wartość wynosi zero czyli muszą leżeć na osi x. Zaczynając od lewej mamy minus 1 następnie 1 oraz 2. Czy pamiętasz jak do tej pory nazywaliśmy takie punkty? Są to miejsca zerowe tej funkcji. Warto zapamiętać, że pierwiastki wielomianu są tym samym co jego miejsca zerowe. Na wykresie widać, że nasz wielomian ma 3 takie pierwiastki. Zauważ, że wcześniej znaleźliśmy 2 z nich. Minus 1 oraz 1. Dwójka natomiast umknęła naszej uwadze. Podstaw 2 do wzoru wielomianu i sprawdź czy faktycznie jest to jego miejsce zerowe. W od 2 równa się 2 do trzeciej odjąć 2 razy 2 do kwadratu odjąć 2 dodać 2. Z obliczeń dostajemy 2 do trzeciej czyli 8, odjąć 2 razy 4 odjąć 2 dodać 2. Wynik to zero. Jak widzisz, dwójka rzeczywiście jest miejscem zerowym naszego wielomianu. Trudno byłoby jednak wywnioskować to z samego wzoru. Znasz już szczególny przypadek wielomianu funkcję kwadratową czyli wielomian stopnia drugiego. Na pewno wiesz, że taka funkcja może mieć dwa, jedno lub zero miejsc zerowych czyli pierwiastków. Przyjrzyjmy się teraz naszemu wielomianowi. Będziemy przesuwali znany nam wykres wzdłuż osi y. Na początku przesuńmy go do góry. Jeśli przesuwamy wykres wzdłuż osi y to dodajemy odpowiednią liczbę do wartości funkcji. Otrzymany wykres, również jest wykresem wielomianu stopnia trzeciego. Spójrz na niego i odczytaj ile ten wielomian ma pierwiastków. Nowy wielomian posiada dwa pierwiastki. Przesuwając wykres dalej w górę osi y zauważymy, że w pewnym momencie będzie on przecinał oś x tylko w jednym punkcie. Oznacza to, że nowy wielomian będzie posiadał tylko 1 pierwiastek. Jest to minimalna liczba pierwiastków dla wielomianów stopnia nieparzystego. Na przykład wielomiany stopnia pierwszego piątego i tak dalej. Zwróć uwagę na jeszcze jedną rzecz. Wartości funkcji pokrywają cały zbiór liczb rzeczywistych. A co w przypadku wielomianów stopnia parzystego? Sprawdźmy to na takim przykładzie. P od x równa się x do czwartej dodać 3x do trzeciej odjąć 8x kwadrat odjąć 12x dodać 16. Czy potrafisz odczytać z wykresu ile pierwiastków ma ten wielomian? Dokładnie 4, ponieważ wykres tej funkcji przecina oś x w czterech miejscach. Tak, jak poprzednio, spróbujmy ten wykres przesuwać w górę osi y. W pewnym momencie mamy 3 miejsca zerowe. Idąc dalej, dostajemy już tylko 2 miejsca zerowe. Kontynuując przesuwanie w górę możemy zauważyć, że wykres będzie stykał się z osią x tylko w jednym punkcie czyli będzie miał tylko jedno miejsce zerowe, dokładnie tutaj. Przy dalszym przesuwaniu tego wykresu nasz wielomian nie będzie w ogóle posiadał żadnych pierwiastków. Wniosek? Wielomiany parzystego stopnia na przykład drugiego czy szóstego nie muszą posiadać pierwiastków. Ponadto zbiór wartości takich wielomianów jest ograniczony z jednej strony. Nie obejmuje on wszystkich liczb rzeczywistych. Co jeszcze możemy powiedzieć na temat pierwiastków wielomianów. Ich liczba nie może przekraczać stopnia wielomianu. Czyli wielomian stopnia trzeciego może posiadać najwyżej 3 pierwiastki wielomian stopnia czwartego najwyżej 4 i tak dalej. Dolnym ograniczeniem liczby pierwiastków dla wielomianów stopnia nieparzystego jest 1 a dla wielomianów stopnia parzystego zero. Te informacje są szczególnie cenne przy szukaniu miejsc zerowych wielomianu ponieważ dają nam wskazówkę na temat ich liczby. Pierwiastkami wielomianu nazywamy takie argumenty dla których wielomian przyjmuje wartość zero. Są to po prostu miejsca zerowe funkcji wielomianowych. Wielomiany parzystego stopnia nie muszą posiadać pierwiastka natomiast wielomiany nieparzystego stopnia zawsze mają przynajmniej jeden. Żaden wielomian nie może mieć więcej pierwiastków niż wynosi jego stopień. Więcej o wielomianach dowiesz się w pozostałych filmach z tej playlisty. Jeśli nie chcesz, aby ominęły Cię nasze nowe filmy to koniecznie zasubskrybuj nasz kanał.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Patryk Bojarski

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipartVectors(CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg