Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

Playlista:Wielomiany

Ten materiał posiada napisy w języku ukraińskim


Ten materiał posiada napisy w języku ukraińskim


Facebook YouTube

Z tego filmu dowiesz się:

  • jak dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany,
  • w jaki sposób stopień wynikowego wielomianu zależy od stopni składników działania,
  • jak sprawdzać, czy wielomiany są równe.

Podstawa programowa

Autorzy i materiały

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.
Chcesz wiedzieć ile za rok będzie kosztować elektryczna hulajnoga? Czy bardziej opłaci się na nią odkładać i kupić za rok czy lepiej poprosić teraz rodziców o małą pożyczkę? Oczywiście nikt nie jest w stanie przewidzieć, co wydarzy się jutro ale mogą w tym pomóc tak zwane metody regresji wielomianowej. Posiadając dane dotyczące zmian cen w czasie możemy do nich dopasować wielomian i na tej podstawie określić bardziej prawdopodobną wersję przyszłości. W tej wideolekcji opowiem Ci o dodawaniu, odejmowaniu oraz mnożeniu wielomianów. Zacznijmy od dodawania. Polecenie brzmi: dodaj do siebie dwa wielomiany: 3x do piątej dodać 2x do czwartej dodać 2x kwadrat odjąć 9x odjąć 1 oraz minus 3x do piątej odjąć x do czwartej odjąć 2x do kwadratu dodać 8x. Zapiszę to działanie. 3x do piątej dodać 2x do czwartej dodać 2x kwadrat odjąć 9x odjąć 1 dodać minus 3x do piątej odjąć x do czwartej odjąć 2x do kwadratu dodać 8x i pokażę Ci krok po krok jak otrzymać wynik. Pierwszy krok. Trzeba zsumować współczynniki przy takich samych potęgach zmiennej x. Co to znaczy w naszym przykładzie? Znajdź wszystkie x w potędze piątej. Są one tutaj. Przy jednym stoi trójka a przy tym minus trójka. 3 dodać minus 3 to zero dlatego w wyniku nie pojawi się x w potędze piątej. Teraz szukamy kolejnej potęgi mniejszej od pięciu. U nas to 4. Przy tym x-ie do czwartej stoi dwójka a przy tym minus. Minus przed liczbą oznacza że naszym współczynnikiem jest minus 1. 2 dodać minus 1 to 1. Po znaku równości zapisujemy 1x do czwartej. Jedynkę bardzo często pomijamy i piszemy po prostu x do czwartej. Co dalej? Szukamy x-ów do trzeciej. Udało Ci się jakiś znaleźć? Mnie też nie, idziemy dalej. Pora na x w drugiej potędze. Przy tym x-ie kwadrat stoi dwójka a przy tym minus dwójka. 2 dodać minus 2 to zero. Innymi słowy możesz powiedzieć że te dwa wyrazy się zredukowały. Nie musimy zatem zapisywać x kwadrat w naszym wyniku ponieważ jego współczynnik wynosi zero. Następnie mamy x do potęgi pierwszej czyli po prostu x. Przy pierwszym stoi minus 9 a przy drugim 8. Minus 9 dodać 8 to minus 1. Do wyniku dopisujemy minus x. Popatrzmy jeszcze na wyrazy wolne. A właściwie to na jeden bo występuje tylko tutaj. Przepisujemy go do naszego wyniku i otrzymujemy x do czwartej odjąć x odjąć 1. Jak widzisz działania na wielomianach rozwiązuje się tak samo, jak działania na wyrażeniach algebraicznych. Jeśli chcesz przypomnieć sobie jak to było z wyrażeniami algebraicznymi to obejrzyj odpowiednią playlistę. Kolej na odejmowanie. Zacznijmy od takiego przykładu: od wielomianu 5x do czwartej odjąć 3x kwadrat dodać x odjąć 2 odejmij wielomian minus x do piątej dodać 3x do czwartej odjąć 3x kwadrat odjąć 2x odjąć 2. Zapiszmy to. 5x do czwartej odjąć 3x kwadrat dodać x odjąć 2 odjąć otwieramy nawias, to bardzo ważne minus x do piątej dodać 3x do czwartej odjąć 3x kwadrat odjąć 2x odjąć 2 i zamykamy nawias. Aby uzyskać prawidłowy wynik musimy pozbyć się nawiasu zamieniając znak każdego składnika na przeciwny. Zaczynamy. Ten minus zamieniamy na plus piszemy więc dodać x do piątej. Tego plusa zamieniamy na minus zatem mamy odjąć 3x do czwartej. Dalej piszemy dodać 3x kwadrat i dodać dwa x dodać 2. Zobacz, nasze działanie stało się podobne do tego, które zapisywaliśmy w poprzednim przykładzie. Tu też musimy zsumować współczynniki przy x w takiej samej potędze. Zrób to samodzielnie. Szukamy największej potęgi. Jest nią piątka. Podkreślamy wszystkie wyrazy zawierające x do piątej. Jest tylko jeden dlatego możemy go przepisać. Następnie podkreślamy wyrazy w których występuje x w potędze czwartej. Tutaj i tutaj. Dodajemy współczynniki przy x-ach. 5 dodać minus 3 to 2 więc po znaku równości piszemy 2x do czwartej. Teraz szukamy x w potędze trzeciej. Taki wyraz nie występuje. Szukam x-ów kwadrat. Są one tutaj i tutaj. Zwróć uwagę, że stojące przy nich współczynniki są liczbami przeciwnymi więc się zredukują. Szukamy teraz x-ów w pierwszej potędze jeden jest tutaj, a drugi tutaj. Dodajemy je do siebie i mamy 3x. Pozostały nam wyrazy wolne. Jeden wynosi 2, a drugi minus 2 co w sumie daje zero dlatego w naszym wyniku wyraz wolny się nie pojawi. Przyjrzyj się stopniom odejmowanych wielomianów i stopniowi wielomianu który jest wynikiem. Stopień pierwszego to 4, drugiego 5 a wynikiem odejmowania jest wielomian stopnia piątego. Przypomnijmy sobie poprzednie zadanie. Tutaj stopień pierwszego oraz drugiego składnika wynosi 5. Wynikiem jest wielomian stopnia czwartego. Jaki z tego wniosek? Stopień wielomianu otrzymanego w wyniku dodawania lub odejmowania wielomianów nie może być wyższy niż stopnie składników. Wynika to z tego, że w efekcie dodawania lub odejmowania nie może powstać wyraz w którym x będzie w potędze wyższej niż w składnikach działania. Wyrazy mogą się natomiast skrócić. Wtedy stopień wielomianu wynikowego będzie niższy. Przyszła pora na mnożenie wielomianów. Pomnóż wielomian 2x do trzeciej dodać 2x kwadrat odjąć 4 przez wielomian minus x do kwadratu dodać x odjąć 1. Tak jak poprzednio, zapiszmy to. Nawias 2x do trzeciej dodać 2x kwadrat odjąć 4, zamykamy nawias razy otwieramy kolejny minus x kwadrat dodać x odjąć 1. Zapisując mnożenie dwóch wielomianów ważne jest, aby wziąć je oba w nawias ponieważ kolejnym naszym krokiem będzie mnożenie każdego składnika w pierwszym nawiasie przez każdy składnik w drugim nawiasie. Innymi słowy mnożymy każdy wyraz stąd przez każdy wyraz stąd. Zacznijmy od 2x do trzeciej razy minus x kwadrat. Czy pamiętasz jak mnożymy takie jednomiany? Współczynniki stojące przy x-ach należy pomnożyć, a wykładniki x dodać. 2 razy minus 1 to minus 2 3 dodać 2 to 5 Wynikiem tego mnożenie jest więc minus 2x do potęgi piątej. Przechodzimy do mnożenia kolejnych wyrazów. 2x do trzeciej razy x. Otrzymujemy 2 razy 1, czyli 2. x do trzeciej razy x czyli x do czwartej. Idziemy dalej. 2x do trzeciej razy minus 1 to minus 2x do trzeciej. 2x kwadrat razy minus x kwadrat to minus 2x do czwartej. 2x kwadrat razy x to 2x do trzeciej. 2x kwadrat razy minus 1 to minus 2x kwadrat. Minus 4 razy minus x kwadrat to 4x kwadrat. Minus 4 razy x to minus 4x. I wreszcie minus 4 razy minus 1 to 4. Mam dla Ciebie radę. Żeby nie zgubić żadnego wyrazu mnożąc wielomiany ustal sobie jakiś porządek. Ja na przykład biorę pierwszy wyraz z pierwszego nawiasu i mnożę go po kolei przez każdy wyraz w drugim nawiasie. Następnie biorę drugi wyraz z pierwszego nawiasu i też go mnożę kolejno przez wszystkie wyrazy w drugim nawiasie. I tak dalej i tak dalej. Jeśli chcesz, możesz wybrać swój własny sposób, ale ważne żeby konsekwentnie się go trzymać. Wracając do naszego wyniku. Musimy go jeszcze uprościć. Robimy to tak samo, jak w przypadku dodawania lub odejmowania wielomianów. Zatrzymaj film i zrób to samodzielnie. Szukamy x w najwyższej potędze. Jest nim x do piątej. Występuje on tylko tutaj więc po znaku równości mogę napisać minus2x do piątej. Następnie szukam x-ów w potędze czwartej. Są tutaj i tutaj, ale suma ich współczynników wynosi zero ponieważ 2 dodać minus 2 to zero. Dlatego w naszym wyniku x w potędze czwartej się nie pojawi. Dalej mamy x do trzeciej, tutaj i tutaj. W tym przypadku współczynniki również się zredukują. Następną potęgą jest dwójka. Mamy ją tutaj i tutaj. Minus 2 dodać 4 to 2 dlatego w wyniku pojawi się dodać 2x kwadrat. x w pierwszej potędze występuje tylko tutaj więc dopisuję minus 4x do wyniku. Pozostał jeszcze wyraz wolny który wynosi 4. Zwróć uwagę na stopnie czynników oraz wyniku naszego iloczynu. Ten wielomian jest stopnia trzeciego a ten drugiego. Wynik jest stopnia piątego. I jak myślisz, dlaczego? Otóż przy mnożeniu wykładniki zmiennych dodajemy. Stopień wielomianu powstałego przez pomnożenie dwóch wielomianów jest zatem zawsze sumą stopni tych czynników. Przyszedł czas, aby sprawdzić swoją wiedzę w kolejnych przykładach. Polecenie brzmi: dane są trzy wielomiany. W od x równa się x do trzeciej odjąć x kwadrat dodać 5 P od x równa się x kwadrat dodać 3 oraz Q od x równa się x do trzeciej odjąć 5. Wykonaj działanie. 4 razy W od x odjąć P od x razy Q od x. Wynik przedstaw w postaci uporządkowanej. Na początku nasz pierwszy wielomian czyli W od x mnożymy przez 4. Piszemy 4 razy nawias x do trzeciej odjąć x kwadrat dodać 5, zamykamy nawias. Od tego odejmujemy iloczyn wielomianów Q i P. Piszemy więc minus otwieramy nawias x kwadrat dodać 3 zamykamy nawias razy, otwieramy nawias x do trzeciej odjąć 5 i zamykamy nawias. Rozwiąż ten przykład, pamiętając o kolejności wykonywania działań. Pomnóżmy każdy składnik pierwszego nawiasu przez 4. Mamy 4x do trzeciej odjąć 4x kwadrat dodać 20. Od tego musimy odjąć wynik mnożenia P od x przez Q od x. Jako, że przed wyrażeniem jest minus to warto wynik tego mnożenia zapisać w nawiasie. Wtedy łatwiej będzie nam pamiętać o zmianie znaków. Wiesz już, że musisz pomnożyć każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego nawiasu. x kwadrat razy x do trzeciej to x do piątej. x kwadrat razy minus 5 to minus 5x kwadrat. 3 razy x do trzeciej to 3x do trzeciej. I 3 razy minus 5 to minus 15. Zanim pozbędziemy się nawiasu musimy zmienić wszystkie znaki jednomianów wewnątrz nawiasu na przeciwne. Mamy więc 4x do trzeciej odjąć 4x kwadrat dodać 20 odjąć x do piątej dodać 5x kwadrat odjąć 3x do trzeciej dodać 15. Ostatnim krokiem będzie dokonanie redukcji wyrazów podobnych. Szukamy największej potęgi x. Jest nią 5. W tej potędze występuje on tylko raz dlatego po znaku równości zapisujemy minus x do piątej. W potędze czwartej x nie występuje a w potędze trzeciej jest tutaj i tutaj więc piszemy dodać x do trzeciej. x kwadrat występuje tutaj oraz tutaj. Minus 4 dodać 5 to 1 więc w wyniku dodajemy x do kwadratu. x w potędze pierwszej nie występuje a 20 dodać 15 to 35. Czy ten wynik jest uporządkowany? Tak, dlatego nie musimy z nim już nic więcej robić. Ostatni przykład jest dla Ciebie. Sprawdź, czy iloczyn wielomianów W od x równa się 3x kwadrat dodać x odjąć 1 i Q od x równa się minus x dodać 4 równy jest wielomianowi P od x równa się minus 3x do trzeciej dodać 11x kwadrat dodać 4x odjąć 4. W od x razy Q od x równa się w nawiasie 3x do drugiej dodać x odjąć 1 zamknąć nawias, razy w nawiasie minus x dodać 4. Mnożymy wszystkie składniki w nawiasie. Mamy minus 3x do trzeciej dodać 12x kwadrat odjąć x kwadrat dodać 4x dodać x odjąć 4. Teraz dodajemy wyrazy podobne. x do trzeciej jest tylko tutaj więc po znaku równości piszemy minus 3x do trzeciej. x w potędze drugiej znajduje się tutaj i tutaj. Po dodaniu współczynników otrzymujemy 11x kwadrat, które dopisujemy do wyniku. Następnie szukamy x-ów. Są tutaj. 4 dodać 1 to 5 więc w wyniku będziemy mieli 5x. Wyraz wolny też przepisujemy. Czy ten iloczyn równy jest wielomianowi P od x? Wielomiany są sobie równe jeśli współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe. Przy x-ach do trzeciej mamy minus 3. Przy x-ach kwadrat mamy 11 czyli wszystko do tej pory się zgadza. Ale przy x-ach mamy 5 a w P od x jest czwórka. Zatem te dwa wielomiany nie są sobie równe. Możemy zapisać, że W od x razy Q od x nie równa się P od x. Zwróć uwagę, że porównywanie wielomianów jest znacznie prostsze jeśli są one uporządkowane. Wielomiany dodajemy, odejmujemy i mnożymy tak, jak wyrażenia algebraiczne. Jeśli dodajemy lub odejmujemy wielomiany to otrzymujemy wielomian o stopniu nie większym niż stopnie składników. W przypadku mnożenia stopień wyniku to suma stopni czynników. Mam nadzieję, że działania na wielomianach nie stanowią już dla Ciebie problemu. Jeśli ten film Cię zainteresował to nie zapomnij zostawić łapki w górę. Po więcej zapraszam Cię na naszą stronę pi-stacja.tv

Ćwiczenia

Interaktywne ćwiczenia związane z tą wideolekcją.

Materiały dodatkowe

Inne zasoby do wykorzystania podczas zajęć z tego tematu.

Lista wszystkich autorów


Lektor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Agnieszka Opalińska, Patryk Bojarski

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga


Produkcja

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


OpenClipartVectors(CC0)
tagechos (CC0)
Sewaqu (Public Domain)
nattanan23 (CC0)
Wikimedia (CC BY)
Katalyst Education (CC BY)