Z tego filmu dowiesz się:

  • jak podzielić wielomian przez inny wielomian,
  • jak wykonywać dzielenie wielomianów z resztą,
  • o podobieństwach między dzieleniem liczb całkowitych a wielomianów,
  • jak obliczyć stopień wielomianu otrzymanego w wyniku dzielenia oraz jaki powinien być stopień reszty z dzielenia.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Istnieją takie wielomiany których wartościami są liczby pierwsze. Na przykład x kwadrat odjąć x dodać 41. Jeśli w miejsce x będziesz podstawiać liczby całkowite od zera do 40 włącznie to za każdym razem w wyniku otrzymasz liczbę pierwszą. Ten wielomian nosi nazwę formuły Eulera. Wyraz wolny tego wielomianu też jest liczbą pierwszą i określany jest mianem szczęśliwej liczby Eulera. W poprzednim filmie dodawaliśmy odejmowaliśmy i mnożyliśmy wielomiany. Zostało nam jeszcze jedno działanie. Mianowicie dzielenie. Co otrzymamy dzieląc przez siebie dwa wielomiany? Polecenie brzmi: podziel wielomian W od x równa się x kwadrat dodać 2x przez wielomian G od x równa się x. Zapisujemy W od x podzielić przez G od x. Ja to zapiszę używając kreski ułamkowej bo w tej postaci będzie nam prościej dokonać obliczeń. Mamy więc x kwadrat dodać 2x dzielone przez x. Czy x może być dowolne? Nie, bo przez zero dzielić nie można. Musimy zatem napisać, że x nie może być równy zeru. Nasz ułamek możemy teraz rozbić na dwa składniki. x kwadrat dzielone przez x dodać 2x dzielone przez x. Co będzie wynikiem dzielenia x kwadrat przez x? Po prostu x. W drugim składniku x się skrócą i zostanie nam dwójka. Wynikiem dzielenia wielomianu W od x przez wielomian G od x jest dwumian x dodać 2. A spróbujmy teraz wielomian G od x podzielić przez wielomian W od x. Sprawdźmy, co otrzymamy. Piszemy x dzielone przez x kwadrat dodać 2x. Podobnie jak w poprzednim przykładzie nie możemy dzielić przez zero czyli x kwadrat dodać 2x nie może równać się zeru. Żeby sprawdzić dla jakich x-ów mianownik jest zerem musimy rozwiązać to wyrażenie. x wyciągamy przed nawias. W nawiasie pozostaje nam x dodać 2. Ten iloczyn musi być różny od zera zatem zarówno x jak i x dodać 2 muszą być różne od zera. Po przekształceniach otrzymujemy że x nie może się równać ani zero, ani minus 2. Wiemy już jakich wartości nie może przyjąć x więc zaczynamy liczenie. Tym razem dodawanie mamy w mianowniku a nie w liczniku ułamka dlatego nie możemy zapisać go jako sumę dwóch ułamków. Zastanówmy się, co innego można zrobić. W mianowniku wyciągamy x przed nawias otrzymując x razy x dodać 2. x możemy skrócić i otrzymujemy 1 dzielone przez x dodać 2. Wynik tego dzielenia nie jest wielomianem. Jeśli nie pamiętasz czym różnią się wielomiany od nie wielomianów to obejrzyj odpowiedni film. Skąd ta różnica? W pierwszym przykładzie dzieliliśmy wielomian wyższego stopnia przez wielomian stopnia niższego. Otrzymaliśmy zgrabny dwumian. W drugim było odwrotnie wielomiany niższego stopnia dzieliliśmy przez taki o stopniu wyższym. Chciałbym w tym miejscu posłużyć się pewną analogią. Podzielmy 12 przez 3. Wynik to 4. Wszystkie liczby są całkowite. Podobnie w naszym pierwszym dzieleniu wszystkie wyrażenia to wielomiany. Natomiast jeśli podzielimy 3 przez 12 otrzymamy 1/4. Czyli liczbę niecałkowitą. Podobnie w dzieleniu naszych wielomianów. Dzieląc wielomian niższego stopnia przez wyższego stopnia otrzymamy zawsze coś, co wielomianem nie jest. Aby wielomiany były podzielne stopień wielomianu, który dzielimy musi być większy od stopnia dzielnika. Tę analogie będę przytaczał nieraz ponieważ bardzo pomaga w zrozumieniu dzielenia wielomianów. Teorie już znasz, pora na przykłady. Sprawdź się i zrób je samodzielnie. Zacznijmy od pierwszego. Co trzeba zrobić najpierw? Sprawdź jakie wartości są zakazane dla x. Mianownik, czyli x dodać 2 nie może być równy zeru. Zatem x nie może równać się minus 2. Tę kwestię mamy już za sobą więc zajmijmy się ilorazem. Wyciągamy x przed nawias a w nawiasie pozostaje nam x dodać 2. Mianownik przepisujemy. x dodać 2 się skróci zatem nasz wynik to po prostu x. W kolejnym przykładzie pierwszy krok jest identyczny. Mianownik, czyli x dodać 1 nie może być zerem. Czyli x nie może być minus jedynką. Przechodzimy do ilorazu wielomianów. Zauważ, że w liczniku mamy wzór skróconego mnożenia. Otrzymujemy x dodać 1 do kwadratu dzielone przez x dodać 1. Jeden nawias z licznika możemy skrócić z mianownikiem. Otrzymujemy x dodać 1. Przejdźmy teraz do kolejnych przykładów. Zadanie brzmi. Podziel wielomian W od x równa się x do czwartej odjąć x kwadrat dodać 1 przez wielomian G od x równa się x kwadrat. W od x dzielone przez G od x równa się x do czwartej odjąć x kwadrat dodać 1 dzielone przez x kwadrat. Pamiętamy, że dzielenie przez zero jest niedozwolone, dlatego x nie może być równy zeru. Wyciągnijmy przed nawias x kwadrat z pierwszych dwóch wyrazów w liczniku. x kwadrat razy nawias x kwadrat odjąć 1 zamknąć nawias, dodać 1. Podobnie jak w pierwszym przykładzie możemy to wyrażenie zamienić na sumę dwóch ułamków. Dostajemy: x kwadrat razy x kwadrat odjąć 1 dzielone przez x kwadrat dodać 1 dzielone przez x kwadrat. W pierwszym ułamku skracamy x do kwadratu i otrzymujemy x kwadrat odjąć 1. Drugiego ułamka nie możemy skrócić dlatego pozostawiamy go w takiej postaci. Ale chwila, przecież dzieliliśmy wielomian o wyższym stopniu przez wielomian o niższym stopniu. Dlaczego więc wynikiem nie jest wielomian? Przypomnij sobie analogie z dzieleniem liczb całkowitych i zastanów się ile to jest 12 przez 7. 1 i 5/7 Pomimo, że dzieliliśmy większą liczbę przez mniejszą, to dostaliśmy liczbę całkowitą oraz ułamek. Popatrz teraz na wynik dzielenia wielomianów. To też jest mieszanka wielomianu oraz czegoś co wielomianem nie jest. Możemy wynik zapisać jako x kwadrat odjąć 1 z resztą 1 ponieważ jedynka występuje tutaj w liczniku. Osobiście często stosuję tę analogie dlatego dzielę się nią z tobą. Mam nadzieję, że dzięki niej dzielenie wielomianów nie będzie stanowić dla Ciebie problemu. Zróbmy teraz wspólnie taki przykład. Pamiętamy, że nie możemy dzielić przez zero. Zatem x nie może być równy minus 2. W liczniku naszego ułamka możemy z dwóch pierwszych wyrazów wyciągnąć x przed nawias. Mamy x razy x dodać 2 dodać 5 i wszystko dzielone przez x dodać 2. Dokończ ten przykład samodzielnie. Wyrażenie to możemy rozdzielić na sumę dwóch ułamków. W pierwszym z nich możemy skrócić ze sobą x dodać 2. Otrzymujemy x dodać 5 dzielone przez x dodać 2. Co możemy zapisać jako x i reszty 5 ponieważ piątkę mamy tutaj. Wielomian w liczniku ma stopień 2 a w mianowniku 1. Wynikiem tego dzielenia jest wielomian stopnia pierwszego oraz reszta której stopień wynosi zero. Stopień wielomianu, który otrzymamy w wyniku dzielenia dwóch wielomianów zawsze równy jest różnicy stopnia dzielnej i dzielnika. Reszta natomiast ma stopień mniejszy niż stopień wielomianu przez który dzieliliśmy. Te zależności są prawdziwe dla wszystkich ilorazów wielomianów, Nie tylko drugiego i pierwszego stopnia. Przejdźmy do ostatniego zadania. Znajdź wielomian W od x jeśli wiadomo, że w wyniku podzielenia go przez dwumian x odjąć 4 otrzymano wielomian G od x równa się 3x kwadrat odjąć 4x dodać 1 i resztę minus 3. Zapiszmy to działanie. W od x dzielone przez x odjąć 4 równa się G od x i reszty minus 3. Standardowo przy dzieleniu mianownik nie może być zerem dlatego x nie może być równy 4. W jaki sposób znaleźć wielomian W od x? Spróbujmy potraktować nasze wyrażenie jak równanie. Żeby otrzymać W od x powinniśmy obie strony pomnożyć przez x odjąć 4. Ale co zrobić z resztą? Jej zapis możemy zamienić na taki: minus 3 dzielone przez x odjąć 4. Robiliśmy to już wcześniej w tej lekcji. Tyle, że tam przechodziliśmy od postaci ułamkowej do zapisu z resztą. Oba te zapisy oznaczają dokładnie to samo. Jednak zapisując w tej postaci pozbywamy się zapisu z resztą. Zauważ, że jeśli to wyrażenie pomnożymy przez mianownik, czyli x odjąć 4 to po lewej dostaniemy W od x a po prawej G od x razy nawias x odjąć 4 zamykamy nawias, odjąć 3. Teraz wystarczy podstawić pod G od x wyrażenie podane w treści polecenia i wykonać działania. Zatrzymaj film i zrób to samodzielnie. Zaraz porównamy nasze wyniki. Mnożymy każdy składnik w pierwszym nawiasie przez każdy składnik w drugim nawiasie i dostajemy 3x do trzeciej odjąć 4x kwadrat dodać x odjąć 12x kwadrat dodać 16x odjąć 4 i odjąć 3. x do trzeciej jest tylko tutaj zatem piszemy, że W od x równa się 3x do trzeciej. x kwadrat mamy tutaj i tutaj. Minus 4 dodać minus 12 równa się minus 16. Do wyniku dopisujemy minus 16x kwadrat. x są tutaj. 1 dodać 16 to 17. I wyrazy wolne. Minus 4 dodać minus 3 to minus 7. Umiejętność zapisywania dzielenia wielomianów w takiej postaci przydaje się przy rozwiązywaniu zadań których niewiadomą jest wielomian. Tak, jak w przypadku dzielenia liczb całkowitych wynik nie musi być liczbą całkowitą, tak w przypadku dzielenia dwóch wielomianów nie musimy otrzymać wielomianu. Ten film dotyczył dzielenia wielomianów. Temat ten nie jest łatwy. Dlatego chciałbym zaoferować naszą pomoc. Jeśli masz jakieś pytanie to zostaw je w komentarzu. Na pewno na nie odpowiemy.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Patryk Bojarski

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipartVectors(CC0)
Clker-Free-Vector-Images (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg