Z tego filmu dowiesz się:

  • jakie zależności nazywamy funkcjami liniowymi,
  • czym są współczynniki a i b we wzorze funkcji liniowej,
  • że nie każda prosta jest wykresem funkcji liniowej.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Być może udało Ci się zauważyć jak pozostawiony w zimnym pokoju balonik trochę się kurczy. Kolejarze zaś narzekają że w upale szyny wydłużają się i wyginają. Rozmaite obiekty wokół nas zmieniają swoją objętość przy zmianie temperatury. Zjawisko to nazywamy rozszerzalnością cieplną. Co najciekawsze objętość większości z tych ciał wraz ze zmianą temperatury zmienia się liniowo. Wiemy, że dom Janka oddalony jest od lotniska o 35 kilometrów. Porównaj oferty dwóch korporacji taksówkarskich: żółtej oraz zielonej i ustal, która oferta będzie dla niego korzystniejsza gdy będzie wracał z lotniska. Widzimy, że w pierwszym przypadku opłata startowa wynosi 9 złotych a każdy przebyty kilometr to dodatkowe 80 groszy do rachunku. W przypadku drugiej firmy opłata startowa wynosi 0 złotych ale za każdy kilometr należy zapłacić złotówkę i 20 groszy. Zajmijmy się teraz odpowiedzią na pytanie która oferta jest dla Janka korzystniejsza? Zaczynamy od korporacji żółtej. Pierwszym, bardzo intuicyjnym sposobem jest przygotowanie odpowiedniej tabelki ale my w tym zadaniu spróbujemy posłużyć się wzorami. Niech y oznacza kwotę do zapłacenia a x przejechane kilometry. Wzór to: y równa się 0,8 razy x bo każdy kilometr kosztuje 80 groszy plus 9, bo zawsze na początku czeka nas opłata startowa. Po podstawieniu za x 35 otrzymamy y równa się 0,8 razy 35 plus 9 a to równa się 37 złotych. Przeanalizujemy teraz ofertę korporacji zielonej. Widzimy, że każdy przejechany kilometr kosztuje 1,20 złotych. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie opisać oraz rozwiązać nasz problem za pomocą wzoru. Ponownie, niech y oznacza kwotę do zapłacenia a x przejechane kilometry. Nasz wzór będzie wyglądał następująco: y równa się 1,20 złotych razy x bo każdy kilometr kosztuje złotówkę i 20 groszy. Nic więcej tutaj nie dodajemy bo opłata startowa wynosi 0 złotych. Po podstawieniu za x 35 otrzymamy y równa się 1,20 złotych razy 35 a to równa się 42 złote. Widzimy, że Jankowi bardziej opłaca się zamówić taksówkę z żółtej korporacji mimo że posiada ona opłatę startową której korporacja zielona nie ma. A gdyby Janek mieszkał bliżej? Kiedy zamówienie taksówki z zielonej korporacji zaczyna się bardziej opłacać? Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy ofert dwóch korporacji taksówkarskich. Odpowiedź na to pytanie znajdziemy porównując wykresy cen za kilometr dla obu korporacji. W takim razie zacznijmy. Na osi poziomej na wykresie będziemy opisywać przebytą drogę w kilometrach a na osi pionowej oznaczać kwoty na rachunku w złotówkach. Startujemy w momencie gdy mamy przejechane 0 kilometrów. Zaczynamy od korporacji żółtej. Opłata na samym początku wynosi 9 złotych. Teraz do każdego przejechanego kilometra musimy dodawać po 80 groszy. Tak wygląda nasz otrzymany wykres. W tym miejscu mamy punkt który oznacza że za przejechane 35 kilometrów z korporacją żółtą Janek zapłaciłby 37 złotych. Teraz wykres dla korporacji zielonej. Tym razem dla wartości 0 kilometrów mamy 0 złotych. W tym przypadku do każdego kilometra dodajemy 1,20 złotych. Ostatecznie po trzydziestym piątym kilometrze, otrzymamy rachunek na 42 złote. Widzimy, że w tym punkcie nasze wykresy się przecinają Jest to punkt 22,5 i 27. Oznacza to, że jeżeli Janek mieszkałby bliżej niż 22,5 kilometra od lotniska to bardziej opłaca mu się zamówić taksówkę od korporacji zielonej. Jeżeli natomiast mieszkałby dalej niż 22,5 kilometra od lotniska to rozsądne jest zamówienie taksówki korporacji żółtej. Punkt przecięcia obu tych wykresów oznacza równe koszty. Zapiszmy teraz definicję funkcji liniowej. x należy do liczb rzeczywistych w związku z tym dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Dla tak określonej dziedziny wykresem funkcji liniowej będzie prosta. Na koniec wyznaczmy sobie jeszcze wartości współczynników a i b. W naszym zadaniu wzór dla korporacji żółtej to f od x równa się 0,8x plus 9 a dla korporacji zielonej f od x równa się 1,2x. Dla żółtej korporacji współczynnik a równa się 0,8, a b 9. Dla zielonej korporacji a równa się 1,2 a b równa się 0 ponieważ tutaj nie było żadnej opłaty startowej. Jeżeli montujemy rury przez które będzie przepływała woda o różnej temperaturze to należy uwzględnić pewne zmiany w ich długości. Rura poddana takim wahaniom temperatury skraca się lub wydłuża. Wydłużenie lub skrócenie termiczne rury ze stali nierdzewnej podane w milimetrach wyraża się wzorem: delta L równa się 0,0165 razy x razy delta t. Gdzie ta liczba to współczynnik rozszerzalności cieplnej x to długość rury podana w metrach a delta t to zmiana pomiędzy temperaturą wody a temperaturą rury. Żeby podczas takiego montażu rur nie przeliczać za każdym razem ich możliwych skróceń lub wydłużeń wykorzystuje się do odczytania odpowiednich wartości, wykresy. Twoim zadaniem jest wykonanie wykresu zależności delta L od delta t gdzie temperatura wody wynosi od dziesięciu do osiemdziesięciu stopni Celsjusza. Rurę montujemy w temperaturze trzydziestu stopni Celsjusza I że ma ona wtedy 20 metrów długości. Zacznijmy od narysowania tabeli. Później wszystko przeniesiemy na wykres. W pierwszym rzędzie mamy zmianę temperatury delta t a w drugim wydłużenie rury delta L. Na początku filmu powiedzieliśmy że zmiana długości jest liniowa. Do narysowania prostej wystarczą nam więc 2 punkty więc rozpatrzmy sobie skrajne przypadki. Pierwsza sytuacja: niech przez rurę przepływa woda o temperaturze osiemdziesięciu stopni. W takim razie różnica temperatur wynosi 80 minus 30 równa się 50 stopni Celsjusza. Teraz obliczamy już delta L. Piszemy: delta L równa się 0,0165 razy 20 razy 50 a to wynosi 16,5 milimetra. Druga sytuacja: przez naszą rurę o temperaturze 30 stopni przepływa woda o niższej temperaturze 10 stopni. W takim wypadku różnica temperatur wynosi 10 minus 30 równa się -20 stopni Celsjusza a delta L równa się 0,0165 razy 20 razy -20. W wyniku otrzymujemy że delta L równa się -6,6 milimetra. Otrzymany wynik jest na minusie co oznacza, że rura nie wydłużyła się a skurczyła. Mając dwa punkty, możemy narysować wykres. Zmażmy więc nasze obliczenia nie będą nam już dłużej potrzebne. Dla różnicy temperatur wynoszącej 50 stopni Celsjusza nasza rura wydłuży się o 16,5 milimetra a dla minus dwudziestu stopni Celsjusza skurczy się o 6,6 milimetra. Teraz możemy już połączyć oba punkty. W ten sposób otrzymaliśmy wykres zależności wydłużenia od różnicy temperatur. Oczywiście jest to wykres proporcjonalności prostej ponieważ przechodzi przez punkt 0, 0. W tym miejscu temperatura wody jest równa temperaturze rury więc nie zachodzi ani wydłużenie, ani skrócenie. Czy podane zależności są wzorami funkcji liniowej? Podpunkt a: y równa się 3. Podpunkt b: x równa się 2. Najpierw podpunkt a. Narysujmy odpowiedni wykres. Widzimy, że mamy tutaj tylko jeden parametr, y. Narysujmy kilka punktów których wartość wynosi 3. Mogą to być na przykład punkty 0, 3 1, 3 lub -2, 3. Połączmy te punkty prostą. Jak widzisz, jest to funkcja stała. Jaka jest dziedzina tej funkcji? x należy do liczb rzeczywistych zatem wzór y równa się 3 przedstawia funkcję liniową. Teraz podpunkt b. Tym razem to x jest stałe i wynosi 2. Zaznaczmy kilka punktów dla których x wynosi właśnie 2. Może to być punkt 2;0, 2;2, 2;-1. Połączmy te punkty. Ponownie otrzymaliśmy prostą. A czy w ogóle ta zależność jest funkcją? Wiemy, że x równy dwóm został przyporządkowany y równemu zeru ale zauważ, że tej samej wartości x zostały przyporządkowane również inne wartości y, na przykład 2 lub -1. Jeżeli jednemu argumentowi ze zbioru x odpowiada wiele wartości y to takie przyporządkowanie nie jest funkcją. Jak widzisz, wykresem każdej funkcji liniowej jest prosta, ale nie każda prosta jest wykresem funkcji liniowej. Wiesz już, że funkcja liniowa wyraża się wzorem y równa się ax plus b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a współczynnik b wyrazem wolnym. W następnych lekcjach dowiesz się jak te współczynniki wpływają na położenie prostej w układzie współrzędnych. Teraz przećwiczymy odczytywanie tych współczynników ze wzorów funkcji liniowej. Mamy dane funkcje określone następującymi wzorami. Odczytaj współczynniki kierunkowe i wyrazy wolne każdej z tych funkcji. Dla funkcji f od x wartość stojąca przy x to 2 zatem współczynnik kierunkowy a wynosi 2 a wyraz wolny to 5 więc nasze b równa się 5. Dla funkcji g od x poszukiwane przez nas a będzie wynosić 1/2 bo taka właśnie wartość stoi przy x a wyraz wolny wynosi -8 czyli b równa się -8. Dla h od x określenie wartości współczynnika b nie będzie trudne bo widzimy, że wyraz wolny wynosi 0,1 więc tyle wynosi także b. A jaka liczba stoi przy x? x moglibyśmy zapisać także jako 1 razy x czyli wartość a dla tej funkcji to 1. A co możemy powiedzieć o funkcji i od x? Tutaj a to 2, a ile wynosi b? Skoro w tym wzorze wyraz wolny nie występuje to b w tym przypadku musi wynosić 0. Pozostała nam już tylko funkcja j od x. Czy widzisz tutaj gdzieś x? Nie ma go. Pamiętasz? Mówiliśmy już w filmie o takiej funkcji. To funkcja stała. Oznacza to, że pod a kryje się 0. Każde x razy 0 da nam 0 którego nie należy zapisywać we wzorze. W tym przypadku wyraz wolny b równa się -15. W dzisiejszej lekcji powiedzieliśmy sobie jakie zależności nazywamy funkcjami liniowymi czym są współczynniki a i b we wzorze naszej funkcji oraz że nie każda prosta jest wykresem funkcji liniowej. Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji liniowej, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Weronika Brzezińska

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Weronika Brzezińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Pexels (CC0)
MichaelGaida (CC0)
Walber (CC BY)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg