Z tego filmu dowiesz się:

  • jak sprawdzić obliczeniowo, czy wykresy dwóch funkcji liniowych są do siebie prostopadłe.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Każdy, kto myśli o zdawaniu prawa jazdy musi liczyć się z tym że na egzaminie będzie musiał zaparkować prostopadle. Jeżeli na chodniku narysowalibyśmy jedną prostą, a na aucie drugą to przy idealnym parkowaniu w tym miejscu znalazłby się kąt prosty. W tej lekcji dowiesz się jaki jest warunek na to aby dwie takie proste były do siebie prostopadłe. W tym filmie pokażę Ci jaka zależność występuje pomiędzy wzorami kierunkowymi prostych prostopadłych. Narysujmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 2 i 5 jednostek. Nazwijmy jego kąty ostre alfa i beta. Co wiemy o kątach ostrych w tym trójkącie? Ich suma musi wynieść 90 stopni bo razem z kątem prostym dają przecież jak w każdym trójkącie, 180 stopni. Narysujmy teraz trójkąt przystający do tego trójkąta i ustawmy go tak by kąt alfa jednego trójkąta przylegał do kąta beta drugiego. Jaki kąt tworzą przeciwprostokątne obu trójkątów? Oczywiście są do siebie prostopadłe. Wiemy to, bo suma kątów alfa i beta wynosi 90 stopni. Umieśćmy nasz rysunek w układzie współrzędnych. Teraz narysujmy proste w których zawarte są nasze przeciwprostokątne. Nazwijmy je k i l oraz opiszmy każdą z nich wzorem. Niech k wyraża się wzorem: y równa się a1 razy x dodać b1 a l wzorem: y równa się a2 razy x dodać b2. Oczywiście proste te są do siebie prostopadłe. Zastanów się jak można obliczyć współczynniki kierunkowe tych prostych. Współczynnik kierunkowy prostej k możemy policzyć dzieląc przyrost wartości funkcji przez przyrost argumentów. Czyli w naszym przypadku a1 równa się 5/2. Podobnie możemy obliczyć współczynnik kierunkowy drugiej prostej. a2 równa się w tym przypadku -2/5. Zauważ, że w prostej l przyrost wartości funkcji jest ujemny dlatego wstawiamy minus przed ułamkiem. Przyjrzyjmy się obliczonym współczynnikom. Pierwszy wynosi 5/2 a drugi -2/5. Co możesz o nich powiedzieć? Nie są to liczby przeciwne. Nie są to też liczby odwrotne ale w jakiś sposób są dla siebie szczególne. Nie ma dla nich w matematyce osobnej nazwy. Możemy za to wykazać że ich iloczyn wynosi -1. Zauważ, że podobne rozważania mogliśmy przeprowadzić dla każdego trójkąta prostokątnego o dowolnej długości boków. Możemy więc uogólnić nasze spostrzeżenie i napisać że dowolne dwie proste o współczynnikach kierunkowych a1 i a2 są prostopadłe gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność a1 razy a2 równa się -1. Chciałabym zwrócić Ci uwagę na jedną rzecz. Warunek jest spełniony gdy dwie proste można opisać równaniami kierunkowym. Ale czy wszystkie proste da się w ten sposób opisać? Oczywiście, że nie. Proste równoległe do osi OY opiszemy wzorem x równa się na przykład 5. Ten wzór nie zawiera współczynnika kierunkowego ale to nie oznacza że nie możemy do takiej prostej wyznaczyć prostej prostopadłej. Musimy po prostu pamiętać że proste do niej prostopadłe będą jednocześnie równoległe do osi OX czyli opisywać je będą wzory postaci y równa się b. Na przykład y równa się 3 lub y równa się -1. Przećwiczmy teraz wykorzystanie tej informacji w zadaniach. Równanie prostej k to y równa się -3x minus 3. Wyznacz równanie prostej l prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych -2, 1. Rozwiąż ten przykład samodzielnie a potem sprawdź czy uzyskałeś taki wynik jak ja. Zacznijmy od zapisania wzoru opisującego prostą l. y równa się ax plus b. Zauważ, że musimy obliczyć współczynniki a i b tej prostej. Wykorzystajmy na początek informacje o prostopadłości. -3 razy a równa się -1 Dzielimy obustronnie nasze równanie przez -3 i otrzymujemy, że współczynnik a równa się 1/3. Wstawmy zatem otrzymany wynik do naszego równania. Teraz skorzystamy z tego że prosta l przechodzi przez punkt D. Wstawiamy jego współrzędną x i y do równania. Otrzymujemy: 1 równa się 1/3 razy -2 plus b. Teraz przekształcamy to równanie i zapisujemy b równa się 1 dodać 2/3. Zamieńmy jedynkę na ułamek 3/3 i dodajmy do niego 2/3. Widzimy, że współczynnik b wynosi 5/3. Nie pozostało nam już nic innego jak tylko wstawić go do wzoru naszej funkcji l. I oto proszę Państwa, mamy wynik. Funkcja l opisana jest wzorem y równa się 1/3x plus 5/3. Kolejne zadanie dla Ciebie. Miejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba 3 a jej wykresem jest prosta l prostopadła do prostej k. y równa się -4x plus 2 Wyznacz równanie prostej l. Mimo, że treść zadania jest inna niż poprzednio to rozwiązujemy je analogicznie. Zapisujemy sobie wzór funkcji l jako y równa się ax plus b i korzystamy z prostopadłości. Mamy a razy -4 równa się -1. A po podzieleniu obustronnie przez -4 otrzymujemy, że a równa się 1/4. Fantastycznie! Podstawmy za a w naszej funkcji 1/4. Teraz współczynnik b. Skorzystamy tutaj oczywiście z informacji że miejsce zerowe prostej l to 3. Oznacza to, jak już dobrze wiesz że prosta przechodzi przez punkt 3, 0. Podstawmy zatem współrzędne tego punktu do wzoru naszej prostej. Mamy 0 równa się 1/4 razy 3 plus b. b przenosimy na lewą stronę a liczby zostawiamy po prawej. Wynik to b równe -3/4. I gotowe. Nasza prosta ma wzór: y równa się 1/4 razy x minus 3/4 Idzie nam tak dobrze że nie możemy odpuścić. Przed Tobą ostatnie zadanie w tej lekcji. Jaką wartość należy wstawić w miejsce m aby proste y równa się 3x plus 3m i y równa się 2m plus 1 razy x plus 6 były do siebie prostopadłe? Gdzie w tych wzorach prostych mamy współczynniki kierunkowe? W przypadku pierwszej prostej będzie on tutaj i wynosi 3 a w przypadku drugiej znajduje się w tym miejscu i wynosi 2m plus 1. Twórcy tego zadania chcieli Cię zmylić wstawiając w tym miejscu 3m. Ale my już umiemy rozwiązywać takie zadania. Piszemy, korzystając oczywiście z prostopadłości że 3 razy 2m plus 1 równa się -1. Najpierw musimy wymnożyć przez 3 wszystko, co znajduje się w nawiasie. Mamy zatem 6m plus 3 równa się -1. Teraz m pozostawiamy po lewej a liczby przenosimy na prawą stronę. Mamy 6m równa się -4. Po podzieleniu przez 6 otrzymujemy -4/6 a to równa się -2/3. Oto poszukiwana niewiadoma. Aby wykresy funkcji liniowej były do siebie prostopadłe należy pamiętać o zależności jaką spełniają ich współczynniki kierunkowe. Ich iloraz musi być równy minus jednemu. Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji liniowej, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Weronika Brzezińska

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Weronika Brzezińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

wir_sind_klein (CC0)
345Kai (CC BY)
dimitrisvetsikas1969 (CC0)
Picsues (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg