Pitagoras i Euklides już około trzechsetnego roku przed naszą erą, nauczyli się wykorzystywać geometrię do rozwiązywania równań kwadratowych. Ten drugi wiedział przy tym że rozwiązaniami takich równań mogą być także liczby niewymierne. Na początek zmierz się z takim zadaniem. Ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa opisana wzorem: y równa się x kwadrat odjąć 4? Widzimy, że to postać ogólna funkcji kwadratowej. Wypiszmy jej współczynniki. a to 1, b to 0, a c to -4. Teraz liczymy deltę ze wzoru b kwadrat odjąć 4 razy a razy c. Otrzymujemy: 0 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy -4, czyli 16. Funkcja kwadratowa opisana wzorem x kwadrat odjąć 4 ma dwa miejsca zerowe. Pokażę Ci teraz wykres tej funkcji. Widzisz, że parabola przecina oś x w dwóch miejscach. W tym przypadku łatwo je odczytać. Pierwsze to 2 co zapisujemy x1 równa się 2. A drugie to -2 co zapisujemy x2 równa się -2. Wróćmy do wzoru funkcji x kwadrat odjąć 4. Można w tym wzorze dostrzec także postać kanoniczną funkcji kwadratowej. Wykres tej funkcji otrzymamy przesuwając wykres funkcji x kwadrat której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych 0 i 0 o 4 jednostki w dół. Otrzymamy funkcję, której wierzchołek będzie w punkcie 0 i -4. Widzimy, że tak jest dokładnie na tym wykresie. Wiesz już że aby znaleźć miejsca zerowe funkcji czyli argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość 0 należy do wzoru funkcji w miejsce y wstawić 0. Otrzymujemy równanie: 0 równa się x kwadrat odjąć 4. Spróbuj rozwiązać to równanie. Mamy tutaj x z drugą potęgą i liczbę. Przerzućmy liczbę na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy 4 równa się x do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu aby otrzymać 4? Istnieją dwie takie liczby. 2 i -2. Widzisz, że to zgadza się z naszym wykresem. Te dwie liczby to miejsca zerowe funkcji x kwadrat odjąć 4. Spójrz raz jeszcze na wyrażenie x kwadrat odjąć 4. Czy da się je przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia? Jeśli tak, zrób to. 4 to 2 do kwadratu więc mamy tutaj różnicę kwadratów. Zamieniamy x kwadrat odjąć 4 na: w nawiasie x odjąć 2 zamykamy nawias razy w nawiasie x dodać 2. Ponieważ poszukujemy miejsc zerowych funkcji musimy sprawdzić kiedy te czynniki będą zerem. Mamy tutaj iloczyn dwóch czynników. Co należy wstawić w miejsce tego x aby ten czynnik był zerem? 2. A co należy wstawić w miejsce tego x aby ten nawias był równy zeru? -2. Całe wyrażenie przyjmie zatem wartość równą zeru dla dwóch argumentów 2 i -2. W kolejnych lekcjach dowiesz się jak wygląda taka postać funkcji kwadratowej zapisana jako iloczyn czynników. Widzisz, że tą metodą otrzymaliśmy takie same miejsca zerowe jak poprzednimi metodami. Przejdźmy do kolejnego równania. x kwadrat dodać 4 równa się 0. Ile rozwiązań ma to równanie? Liczbę rozwiązań możemy określić korzystając z delty. a to 1, b to 0, a c to 4. Delta wynosi zatem: 0 kwadrat odjąć 4 razy 1 razy 4, czyli -16. Delta jest ujemna, co oznacza że to równanie nie ma rozwiązań. W tym wzorze możemy dostrzec też postać kanoniczną. Funkcję x kwadrat dodać 4 otrzymamy przesuwając funkcję x kwadrat o wierzchołku w punkcie 0 i 0 oraz ramionach skierowanych w górę o 4 miejsca do góry. Widzisz, że ta funkcja nie ma miejsc zerowych. Co za tym idzie? Równanie x kwadrat dodać 4 równa się 0 nie ma rozwiązań. Pokażę Ci teraz inny sposób który pozwoli określić liczbę rozwiązań tego równania. To równanie, w którym współczynnik b czyli ten przy x z pierwszą potęgą wynosi 0. Takie równanie możemy rozwiązać przerzucając 4 na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem. Otrzymamy x kwadrat równa się -4. Ale czy istnieje liczba która podniesiona do kwadratu da nam -4? Nie. To równanie nie ma zatem rozwiązań a funkcja x kwadrat dodać 4 nie ma miejsc zerowych. Spójrz raz jeszcze na wyrażenie x kwadrat dodać 4. Czy da się je przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia? Jeśli tak, zrób to. 4 to 2 do kwadratu. Mamy tutaj sumę kwadratów. Wiesz, że nie istnieje wzór skróconego mnożenia na sumę kwadratów. Tego wyrażenia nie da się zatem zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników. To tak na marginesie. Kolejne zadanie jest dla Ciebie. Mamy tutaj funkcję y równa się 2x kwadrat odjąć 10. Czy potrafisz powiedzieć ile miejsce zerowych ma ta funkcja? Podpowiem, że możesz skorzystać z delty przeanalizować wykres tej funkcji na podstawie współrzędnych wierzchołka albo zbadać liczbę rozwiązań równania 2x kwadrat odjąć 10 równa się 0. Ja wykorzystam tę ostatnią metodę. Zwróć uwagę, że w tym równaniu współczynnik b wynosi 0. Takie równanie rozwiązujemy przerzucając liczbę na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy 2x kwadrat równa się 10. Teraz podzielmy obie strony równania przez 2. Mamy x kwadrat równa się 5. Zastanawiamy się jaką liczbę należy podnieść do kwadratu aby otrzymać 5. Istnieją dwie takie liczby. Pierwiastek z pięciu i minus pierwiastek z pięciu. To równanie ma dwa rozwiązania więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe. Metoda, z której skorzystałem oprócz tego że pozwala określić liczbę miejsc zerowych funkcji, to jeszcze je konkretnie podaje. Daje nam zatem więcej informacji. Poćwiczymy teraz rozwiązywanie równań kwadratowych w których współczynnik b wynosi o. Rozwiąż równanie. 2x kwadrat dodać 10 równa się zero. Po lewej stronie mamy postać ogólną w której współczynnik b wynosi 0. Przerzucamy 10 na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem. Mamy 2x kwadrat równa się -10. Dzielimy obustronnie przez 2. Otrzymujemy x kwadrat równa się -5. Czy istnieje liczba która po podniesieniu do kwadratu daje -5? Nie. Oznacza to że równanie nie ma rozwiązania. Kolejny przykład dla Ciebie. -50 dodać 2x kwadrat równa się 0. W tym równaniu po prawej stronie mamy 0 a po lewej -50 dodać 2x kwadrat. Żeby po lewej stronie zobaczyć postać ogólna funkcji kwadratowej wystarczy zamienić liczby miejscami. Otrzymasz 2x kwadrat odjąć 50 równa się 0. Teraz przerzucamy liczbę na drugą stronę równania. Oczywiście ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy 2x kwadrat równa się 50. Dzielimy obustronnie przez 2. Otrzymujemy x kwadrat równa się 25. Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 25? Są dwie takie liczby. 5 i -5. To równanie ma dwa rozwiązania. Masz już podstawową wiedzę o równaniach kwadratowych w postaci ogólnej gdy współczynnik b wynosi 0. Gratuluję! Jeżeli w równaniu kwadratowym współczynnik b wynosi 0 to aby je rozwiązać wyliczamy x kwadrat i pierwiastkujemy pamiętając o ujemnym wyniku. Takie równanie może być sprzeczne i może nie mieć rozwiązań. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tej playlisty oraz do zasubskrybowania naszego kanału aby być na bieżąco.