Sinus, cosinus, tangens dowolnego kąta rozwartego

Astrolabium to przyrząd służący do pomiaru wysokości gwiazd nad horyzontem albo słońca w południe. Pozwalał też wyznaczyć szerokość geograficzną statku na morzu. Arabscy żeglarze używali go już w ósmym wieku. Widzisz trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości 3 i 4 a przeciwprostokątna to 5. Oznaczmy ten kąt ostry literą alfa. Wyznacz samodzielnie sinus cosinus i tangens kąta alfa. Sinus alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa i przeciwprostokątnej czyli 3/5. Cosinus alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa i przeciwprostokątnej, czyli 4/5. Tangens alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa i drugiej przyprostokątnej czyli 3/4. Wiesz już, że w trójkącie prostokątnym 2 kąty wewnętrzne są ostre a trzeci kąt to kąt prosty. Nie ma możliwości, aby trójkąt prostokątny był jednocześnie rozwartokątny. Okazuje się jednak, że sinus, cosinus i tangens istnieją także dla trójkątów rozwartokątnych. Schowam najpierw literę alfa która w tym przypadku oznacza kąt ostry. Zobacz: mamy tutaj kąt rozwarty. Nazwijmy go beta. Jego sinus to 3/5 cosinus to –4/5, a tangens to –3/4. Dla kątów rozwartych, czyli takich które są większe niż 90 stopni ale mniejsze niż 180 stopni sinus jest dodatni a cosinus i tangens są zawsze ujemne. Dla kątów ostrych sinus, cosinus i tangens są zawsze dodatnie. Zapamiętaj tę różnicę! Pokażę Ci, dlaczego tak jest. Wróćmy do trójkąta prostokątnego i nanieśmy go na układ współrzędnych w taki sposób, żeby wierzchołek przy kącie alfa był w początku układu współrzędnych, a jedna z przyprostokątnych pokrywała się z osią x. Wtedy ten wierzchołek znajdzie się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych czyli w tej. Zobacz: ten wierzchołek trójkąta znajduje się w początku układu współrzędnych, czyli w punkcie o współrzędnych 0, 0. Jakie współrzędne mają pozostałe wierzchołki tego trójkąta? Współrzędne tego wierzchołka to 4 i 0 a tego 4 i 3. Czy dostrzegasz związek między długościami boków trójkąta prostokątnego znajdującego się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, a współrzędnymi wierzchołków tego trójkąta? Ten bok leży na osi x. Jego koniec ma współrzędne 0 i 4 a jego długość to 4. Ten bok jest prostopadły do osi x więc pierwsza współrzędna tego punktu to też 4. Współrzędna y to 3. Długość tego boku to też 3. Długość przeciwprostokątnej to 5. Gdybyśmy jej nie znali, moglibyśmy obliczyć ją z twierdzenia Pitagorasa. 3 do kwadratu dodać 4 do kwadratu to przecież kwadrat długości przeciwprostokątnej, czyli w tym przypadku 5 do kwadratu. Wyznaczmy teraz sinus, cosinus i tangens kąta alfa, korzystając ze współrzędnych. Aby to zrobić, potrzebujemy współrzędnych dowolnego punktu znajdującego się na ramieniu kąta alfa. W tym przypadku najłatwiej będzie wykorzystać punkt, który znajduje się w tym miejscu na ramieniu kąta alfa. Jego współrzędne to 4 i 3. Zauważ, że współrzędne tego punktu zawierają w sobie długości boków przyprostokątnych. Współrzędna x to długość tego boku a y tego boku. Długość przeciwprostokątnej to odległość tego punktu od początku układu współrzędnych. Oznaczmy ją literą r. Sposobem na obliczanie funkcji kąta rozwartego jest właśnie użycie współrzędnych, zamiast długości boków. Sinus kąta alfa w tym trójkącie to 3/5 czyli y przez r. Cosinus alfa to 4/5, czyli x przez r a tangens alfa to 3/4, czyli y przez x. Za chwilę wykorzystamy te wzory do obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego. Narysujmy kąt rozwarty beta tak aby koniec jego ramienia był symetryczny względem osi y do punktu o współrzędnych 4 i 3. Jakie współrzędne ma ten punkt? –4 i 3. Odległość tego punktu od początku układu współrzędnych oznaczamy literą r. Sinus kąta beta to współrzędna y tego punktu przez r, czyli 3/5. Cosinus beta to współrzędna x-owa tego punktu przez r, czyli –4/5. Tangens beta to współrzędna y tego punktu przez jego współrzędną x-ową, czyli –3/4. Jak myślisz, skąd biorą się minusy w wartościach cosinusa i tangensa kąta beta? Do obliczenia wartości tych funkcji trygonometrycznych, wykorzystywaliśmy współrzędne punktu znajdującego się na ramieniu kąta beta. Należy pamiętać, aby kąt był dobrze narysowany, czyli jego wierzchołek leżał w początku układu współrzędnych jedno ramię pokrywało się z osią x a drugie było w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Skoro ten punkt znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych to jego współrzędna x-owa jest ujemna. Cosinus to x przez r a tangens to y przez x. r to odległość tego punktu od początku układu współrzędnych. Odległość jest zawsze liczbą dodatnią. Iloraz liczby dodatniej i ujemnej jest zawsze ujemny. Współrzędna y tego punktu jest dodatnia więc iloraz liczby dodatniej i ujemnej jest także ujemny. W analogiczny sposób można obliczać wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, nawet większego od 180 stopni. Widzisz kąt prosty. Współrzędnych którego punktu potrzebujemy aby obliczyć sinus, cosinus i tangens dziewięćdziesięciu stopni w układzie współrzędnych? Potrzebujemy współrzędnych punktu który znajduje się na tym ramieniu. Na przykład tego. W tym przypadku łatwo je odczytać wynoszą 0 i 4. Ten punkt jest rzecz jasna tylko jednym z wielu, które możemy wykorzystać. Wartości sinusa, cosinusa i tangensa będą identyczne dla wszystkich punktów leżących na tym ramieniu. Czego jeszcze potrzebujemy? Długości tego ramienia. Można łatwo odczytać że długość tego odcinka to 4. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć sinus cosinus i tangens dziewięćdziesięciu stopni. Sinus dziewięćdziesięciu stopni to współrzędna y podzielona przez długość ramienia, czyli 4 podzielić przez 4 a to wynosi 1. Cosinus dziewięćdziesięciu stopni to współrzędna x-owa podzielona przez długość ramienia, czyli 0 przez 4 a to wynosi 0. A ile wynosi tangens dziewięćdziesięciu stopni? y przez x, czyli 4 podzielić przez 0. Ale czy można dzielić przez 0? No nie! Co to oznacza? Ano tyle, że tangens dziewięćdziesięciu stopni nie istnieje. Schowajmy te zapiski i zmieńmy miarę kąta na 180 stopni. Spróbuj samodzielnie wyznaczyć sinus, cosinus i tangens stu osiemdziesięciu stopni. Długość tego ramienia się nie zmieniła. Wciąż wynosi 4. Zmienił się jedynie punkt którego współrzędne odczytujemy do obliczenia wartości tych funkcji trygonometrycznych. Współrzędne naszego nowego punktu to –4 i 0. Sinus stu osiemdziesięciu stopni wynosi zatem y przez r czyli 0 podzielić przez 4, a to wynosi 0. Cosinus stu osiemdziesięciu stopni to x przez r, czyli –4 podzielić przez 4 a to jest –1. Tangens stu osiemdziesięciu stopni to y przez x, czyli 0 podzielić przez –4 a to równa się 0. Na koniec sprawdźmy, co się stanie gdy zmienimy miarę tego kąta na 0 stopni. Zauważ, że w tym przypadku ramiona kąta się pokrywają. Długość każdego to 4. Potrzebujemy jeszcze współrzędnych punktu znajdującego się na końcu ramienia. W tym przypadku nie ma znaczenia którego bo przecież się pokrywają. Odczytaj je samodzielnie i oblicz sinus cosinus i tangens zera stopni. To 4 i 0. Długość ramienia, czyli r to 4. Sinus zera stopni to y podzielić przez r czyli 0 podzielić przez 4, a to wynosi 0. Cosinus zera stopni to x podzielić przez r czyli 4 podzielić przez 4, a więc 1. Tangens zera stopni to y podzielić przez x czyli 0 podzielić przez 4, a to jest 0. Warto zapamiętać wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla zera, dziewięćdziesięciu i stu osiemdziesięciu stopni. Dzięki tej lekcji wiesz, że możesz obliczać sinus, cosinus i tangens również dla kątów większych niż 90 stopni ale mniejszych niż 180 stopni. Wzory umożliwiające te obliczenia znajdują się na tablicy. Pamiętaj, że sinus dla takich kątów jest zawsze dodatni a cosinus i tangens są zawsze ujemne. W tym dziale znajdziesz lekcje dotyczące funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv