Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wygląda dowód twierdzenia o kątach wpisanych opartych na łukach tej samej długości.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Czy wiesz, że najstarszy znany wizerunek pojazdu kołowego na świecie został odkryty w Polsce? Dokładnie mówiąc w Bronocicach pod Nidzicą. Obrazek przedstawia czterokołowy pojazd z dyszlem dla zwierząt pociągowych. Linie łączące koła prawdopodobnie reprezentują osie. Koło po środku być może symbolizuje pojemnik na zbiory. Rysunek powstał prawie 5,5 tysiąca lat temu. W jednym z ostatnich filmów wprowadziliśmy twierdzenie o kącie wpisanym. Mówi nam ono, że jeżeli mamy dwa kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku to miary tych dwóch kątów są takie same. Nauczyliśmy się korzystać z tego twierdzenia. W tym filmie wyjaśnimy skąd się ono bierze czyli je udowodnimy. Zaczynamy od wykonania rysunku z dwoma kątami wpisanymi opartymi na wspólnym łuku. Musimy wykazać, że kąt ACB ma taką samą miarę, jak kąt ADB. Dla ułatwienia oznaczymy sobie miarę kąta ACB przez alfa. Będziemy dowodzili, że kąt ADB również ma miarę alfa. Zapiszmy to jako tezę. Kluczem do przeprowadzenia tego dowodu jest dorysowanie kąta środkowego opartego na tym samym łuku co dwa pozostałe kąty. W jednym z filmów tej playlisty zajmowaliśmy się twierdzeniem o kącie wpisanym i środkowym. Wynika z niego, że jeśli oba są oparte na tym samym łuku to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Czyli jeżeli kąt ACB ma miarę alfa to kąt ASB będzie miał miarę 2 alfa. Zapiszmy to wraz z uzasadnieniem że skorzystaliśmy tutaj z twierdzenia o kącie wpisanym oraz środkowym. Zastanówmy się teraz jak obliczyć miarę kąta ADB. Czy masz pomysł co należy teraz zrobić? Kąty ADB oraz kąt ASB również są oparte na tym samym łuku. Oznacza to, że kąt ADB ma miarę równą połowie miary kąta środkowego. Czyli 1/2 razy 2 alfa. Daje nam to, że kąt ADB ma miarę alfa. A to właśnie mieliśmy udowodnić. Stawiamy więc znak końca dowodu. Dowód najbardziej podstawowej wersji tego twierdzenia mamy już za sobą. Istnieje jednak mocniejsza wersja tego twierdzenia którą się teraz zajmiemy. Okazuje się, że kąty wpisane we wspólny okrąg aby być tej samej miary wcale nie muszą być oparte na tym samym łuku. Wystarczy, że łuki, na których są oparte będą równej długości. Teraz narysujmy dwa dowolne kąty wpisane oparte na tych łukach. Zajmiemy się teraz udowodnieniem że takie dwa kąty jak pokazane na rysunku muszą mieć jednakowe miary. Zaczniemy od narysowania kątów środkowych. Tym razem dwóch ponieważ mamy też dwa łuki. Odpowiednie kąty środkowe wyglądają tak. Aby uzasadnić, że te dwa kąty wpisane mają taką samą miarę wystarczy udowodnić że miara tego kąta środkowego jest równa mierze tego kąta środkowego. Ale jak to zrobić? Wiemy, że łuki są równe. Jaki jest związek pomiędzy długością łuku a miarą kąta środkowego? Jak zapewne wiesz, są to wielkości wprost proporcjonalne czyli długość łuku jest proporcjonalna do miary kąta środkowego który ten łuk wyznacza. A to z kolei oznacza, że jeżeli mamy dwa równe łuki w tym samym okręgu to kąty środkowe muszą być tej samej miary. Oznaczmy to przez alfa. Czy masz pomysł jak zakończyć ten dowód czyli wykazać, że kąty wpisane również będą równe? Zatrzymaj film i zastanów się chwilę. Wystarczy skorzystać tutaj dwukrotnie z twierdzenia o kącie wpisanym oraz środkowym. Kąt AEB to 1/2 kąta ASB. Miara tego kąta to zatem 1/2 alfa. Natomiast kąt CFD to połowa kąta CSD czyli również 1/2 alfa. Udowodniliśmy, że kąt AEB oraz kąt CFD są sobie równe. Okazuje się, że twierdzenie o którym przed chwilą mówiliśmy działa w dwie strony. Z jednej strony, jeżeli mamy równe łuki to kąty wpisane oparte na nich będą tej samej miary. Z drugiej strony, jeżeli mamy dwa kąty wpisane w okrąg o równych miarach to łuki, na których są oparte muszą być równej długości. Jak wykazać twierdzenie w drugą stronę? To bardzo podobne do dowodu oryginalnego twierdzenia. Zastanów się jak przeprowadzić taki dowód. Zaczynamy od rysunku. Ponieważ to, że kąty wpisane są równe tym razem jest założeniem to oba kąty oznaczmy jako alfa. Po raz kolejny dorysowujemy kąty środkowe. Co wiemy o miarach tych kątów? Z pomocą przyjdzie nam twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym. Skoro kąt AEB ma miarę alfa to ASB musi być 2 razy większy. Analogicznie, CFD również ma miarę 2 alfa. Kąty środkowe oparte na tych łukach mają tę samą miarę. Czy wystarczy nam to do stwierdzenia że łuki, na których są one oparte mają tę samą długość? Tak, jak wcześniej wspomnieliśmy miara kąta jest wprost proporcjonalna do długości łuku. Wynika więc z tego że łuki są równej długości. W tej lekcji udowodniliśmy że kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary. Wykazaliśmy też zależność odwrotną. Jeśli dwa kąty wpisane w okrąg mają takie same miary to znaczy że łuki na których są oparte mają jednakową długość. Oba twierdzenia można połączyć w jedno. Jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg to są równe wtedy i tylko wtedy gdy są oparte na równych łukach. Zwrot wtedy i tylko wtedy gdy oznacza równoważność. To skrócony zapis pozwalający jednocześnie sformułować twierdzenie oraz twierdzenie do niego odwrotne. Zachęcam Cię do obejrzenia pozostałych filmów z playlisty o kątach i kołach oraz do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Arkadiusz Sas

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Silar (CC BY)
Dawidbernard (CC BY)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg