Ciąg rekurencyjny

W tej lekcji pokażę Ci, jaki związek ma matematyka z drzewem genealogicznym pszczół. Wszystkie samice pszczół rodzą się z zapłodnionych jaj. To oznacza, że każda ma matkę i ojca. Samiec pszczoły, zwany trutniem rodzi się z niezapłodnionego jaja to znaczy, że ma tylko matkę. Tego, w jaki sposób dochodzi lub nie dochodzi do zapłodnienia jaja dowiesz się na lekcji biologii. Ja pokażę Ci teraz jak wygląda drzewo genealogiczne trutnia. Truteń to pierwsze pokolenie. Każdy truteń ma tylko matkę. W drugim pokoleniu jest więc tylko matka czyli 1 osobnik. Matka powstaje z zapłodnionego jaja a do tego potrzeba trutnia i królowej, czyli matki. Idąc dalej według tego schematu ten truteń ma tylko matkę, a ta matka ma ojca, czyli trutnia i matkę. W czwartym pokoleniu były 3 osobniki. Ile osobników było w piątym pokoleniu? Na to pytanie można odpowiedzieć na 2 sposoby. Pierwszy to narysowanie kolejnej części drzewa. Po przeliczeniu okazuje się, że w piątym pokoleniu trutnia było 5 osobników. W kolejnych pokoleniach ta metoda staje się jednak nieefektywna a rysunek nieczytelny i będzie można łatwo się pomylić. Określenie liczby w dwudziestym pokoleniu będzie już praktycznie niemożliwe chyba że będziemy mieć do dyspozycji ogromną kartkę. W takich sytuacjach na pomoc biologii przychodzi matematyka. Tam, gdzie można dostrzec jakąś zależność można też pokusić się o zapisanie wzoru który ją opisuje. Czy wiesz, jak można matematyczną metodą znaleźć liczbę osobników w kolejnych pokoleniach? Wykorzystam do tego tabelę. Można z niej wyciągnąć bardzo ciekawe wnioski. Najpierw był truteń. To jest pierwsze pokolenie i jest w nim 1 osobnik. Truteń ma tylko matkę. Matka to drugie pokolenie i w drugim pokoleniu też jest 1 osobnik. Co mamy dalej? Matka trutnia ma ojca trutnia i matkę królową. W trzecim pokoleniu są zatem 2 osobniki. Zauważ, że liczba osobników w kolejnym czyli trzecim pokoleniu jest równa sumie osobników z dwóch poprzednich. Przejdźmy do czwartego pokolenia. Ile jest w nim osobników? 3. A jaka jest suma osobników z dwóch poprzednich? 2 dodać 1, czyli 3. Liczba osobników w czwartym pokoleniu jest równa sumie liczby osobników z dwóch poprzednich. Idźmy dalej! W piątym pokoleniu mamy 5 osobników a tyle wynosi właśnie suma osobników z dwóch poprzednich pokoleń. To jak możemy jednym zdaniem opisać regułę powstawania drzewa genealogicznego trutnia? Masz jakiś pomysł? W danym pokoleniu liczba osobników jest równa sumie osobników z dwóch poprzednich pokoleń. Wyznacz teraz samodzielnie liczbę osobników w szóstym pokoleniu. Liczba osobników w szóstym pokoleniu jest równa sumie osobników z piątego i czwartego pokolenia. Dodajemy więc do siebie 5 i 3. Otrzymujemy 8. Sprawdźmy, czy otrzymamy taki sam wynik rysując kolejną gałąź drzewa. Oto ona. Policzmy osobniki w szóstym pokoleniu. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Mamy 8. Wszystko się zgadza. To ile osobników będzie w dziesiątym pokoleniu? Oblicz samodzielnie. Potrzebujemy do tego liczby osobników z poprzednich pokoleń, ósmego i dziewiątego. Nie mamy tych wartości. Nie znamy też liczby osobników z siódmego pokolenia ale znamy z szóstego i piątego. Liczba osobników w siódmym pokoleniu to suma osobników z dwóch poprzednich czyli 8 dodać 5, a to równa się 13. Liczba osobników w ósmym pokoleniu to suma osobników z dwóch poprzednich czyli 13 dodać 8, a to równa się 21. Liczba osobników w dziewiątym pokoleniu to suma osobników z dwóch poprzednich czyli 21 dodać 13, a to równa się 34. Liczba osobników w dziesiątym pokoleniu to suma osobników z dwóch poprzednich czyli 21 dodać 34, a to równa się 55. Zauważ, że w tabeli mamy nic innego jak ciąg. Pokolenia są liczbami naturalnymi większymi od zera. Są to numery wyrazów ciągu. Liczba osobników w danym pokoleniu to wartość wyrazu ciągu. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba 1, drugim też liczba 1 trzecim 2, czwartym 3 i tak dalej. Spróbujmy zapisać schemat powstawania drzewa genealogicznego trutnia za pomocą wzoru. Pokażę Ci jak. Wiemy, że w danym pokoleniu liczba osobników jest równa sumie osobników z dwóch poprzednich pokoleń. Nie zadziała to dla pierwszego i drugiego pokolenia bo tam nie będzie co dodawać. Dopiero od trzeciego pokolenia, liczbę osobników możemy obliczyć przez dodanie osobników z pierwszego i drugiego. Wiemy, że w pierwszym pokoleniu jest truteń, a w drugim mamy jednego osobnika. Oznacza to, że pierwszym i drugim wyrazem ciągu jest liczba 1. Jak to zapisać matematycznie? a1 równa się 1 oraz a2 równa się 1. Trzeci wyraz jest sumą dwóch poprzednich czyli a3 równa się a2 plus a1. Czwarty wyraz jest sumą trzeciego i drugiego, czyli a4 równa się a3 plus a2. Więc jak zapisać wzór na an wiedząc że powstaje ono przez dodanie do siebie dwóch poprzednich wyrazów? Wyraz przed an zapisujemy jako an minus 1 a wyraz znajdujący się 2 miejsca wcześniej niż an jako an minus 2. Liczba osobników w n–tym pokoleniu czyli an, to suma liczby osobników w dwóch poprzednich pokoleniach czyli an minus 1 dodać an minus 2. To jednak nie wszystko. Z tego wzoru nie obliczymy ani a1, ani a2. Do tej formuły musimy dodać informację o wartościach dwóch pierwszych wyrazów ciągu. Dopisujemy pod spodem że a1 równa się 1 i a2 równa się 1. Aby wzór był kompletny łączymy wszystko klamrą. Taka formuła określenia ciągu, która korzysta z wartości poprzednich wyrazów nazywa się rekurencją, a ten konkretny ciąg, ciągiem Fibonacciego. W kolejnym zadaniu pokażę Ci inny ciąg określony rekurencyjnie. Co tutaj mamy? Pierwszy wyraz, czyli a1, równa się –4. Wzór na n–ty wyraz tego ciągu to an równa się 3 razy an minus 1. Obliczmy trzeci, piąty i siódmy wyraz tego ciągu. We wzorze na an występuje wyraz an minus 1 czyli o 1 wcześniejszy. Do obliczenia siódmegu wyrazu potrzebny nam będzie wyraz o 1 mniejszy a więc szósty. Do obliczenia szóstego będzie potrzebny piąty wyraz i tak dalej. W takim razie liczymy od początku. Z zadania wiemy, że a1 równa się –4. Aby obliczyć a2, w miejsce n wstawiamy dwójkę i otrzymujemy: a2 równa się 3 razy a2 minus 1 czyli 3 razy a1. Znamy a1, a1 to –4. Mamy zatem 3 razy –4, a to równa się –12. Analogicznie, a3 równa się 3 razy wyraz wcześniejszy, czyli a2. Co otrzymamy? a3 równa się 3 razy a2 czyli 3 razy –12, a to daje nam –36. a4 to 3 razy wyraz wcześniejszy czyli 3 razy –36, a to daje nam –108. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć a5, a6 i a7. a5 to 3 razy wyraz wcześniejszy czyli a4, a a4 to –108. 3 razy –108 to –324. a6 to 3 razy a5, czyli 3 razy –324 a to równa się –972. a7 to 3 razy a6 czyli 3 razy –972, a to wynosi –2916. Ciąg jest określony rekurencyjnie jeśli każdy jego wyraz jest określony odwołaniem do wyrazów poprzednich. Czym rekurencyjny sposób opisu ciągu różni się od wzoru ogólnego? We wzorze ogólnym wystarczy podać pozycję dowolnego wyrazu aby obliczyć wyraz na tej pozycji. W przypadku rekurencji trzeba iść krok po kroku, tak jak w poznanych przykładach. Ciąg jest rekurencyjny, jeśli podano pierwszy wyraz lub kilka pierwszych wyrazów, a wzór na n plus pierwszy wyraz ciągu odwołuje się do wyrazów poprzednich. Ten dział jest wprowadzeniem w świat ciągów. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv