Twierdzenie sinusów

Jednym z najwcześniejszych zastosowań trygonometrii było tworzenie tak zwanych tablic cienia dla zegarów słonecznych. Tablice te były różne w różnych kulturach bo wysokość słońca w południe różni się w zależności od lokalizacji w której ją mierzymy. W ten sposób już ponad 3000 lat temu ludzie korzystali z funkcji trygonometrycznych, nie znając nawet tego pojęcia. Twierdzenia i wzory można przyrównywać do zaklęć z książek o Harrym Potterze. Młodzi adepci magii nie tworzą tych zaklęć od początku tylko uczą się formuł z księgi i praktykują ich wykorzystywanie. A że nie sposób spamiętać wszystkich matematycznych twierdzeń i definicji dlatego na egzaminach przydają się tablice maturalne. W tej lekcji pokażę Ci jedno z twierdzeń które znajdziesz w tablicach. Nauczymy się, co oznacza i jak z niego korzystać. Jeśli interesuje Cię jego dowód to obejrzyj odpowiedni film z tej playlisty. Matematyczne zaklęcie o którym mówiłem przed chwilą nazywa się twierdzeniem sinusów. Opowiada o związku między długościami boków trójkąta a miarami jego kątów. Narysujmy zatem trójkąt. Kąty oznaczmy literami alfa beta oraz gamma. Długość boku naprzeciw kąta alfa oznaczmy literą a. Długość boku naprzeciw kąta beta oznaczmy literą b, a długość boku naprzeciw kąta gamma literą c. Twierdzenie sinusów mówi, że w dowolnym trójkącie stosunki długości boków do sinusów kątów leżących naprzeciw tych boków są równe. Matematycy słowne zaklęcia zapisują w postaci wzorów. Może spróbujesz zrobić to samodzielnie? Weźmy bok o długości a. Zapiszmy stosunek długości tego boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego. Mamy a przez sinus alfa. Weźmy teraz bok o długości b. Zapiszmy stosunek długości boku do sinusa naprzeciwległego kąta. Mamy b przez sinus beta. To samo robimy dla tego boku. Otrzymujemy c podzielić przez sinus gamma. Twierdzenie sinusów mówi że te ilorazy są identyczne. Między nimi możemy zatem zapisać znak równości. Za chwilę pokażę Ci jak wykorzystać to twierdzenie w zadaniach. Zobacz, znamy miary dwóch kątów wewnętrznych. Ten ma 34 stopnie a ten 63 stopnie. Długość tego boku to 5, a tego b. Naszym zadaniem jest znalezienie długości boku oznaczonej literą b. Pewnie domyślasz się że skorzystamy z twierdzenia sinusów. Dla tego trójkąta zapisujemy: stosunek boku o długości 5 do sinusa kąta o mierze trzydziestu czterech stopni. Bok, którego szukamy znajduje się tutaj i ma długość b. Ten iloraz jest zatem taki sam jak iloraz b przez sinus sześćdziesięciu trzech stopni. Wartości sinusów tych kątów możemy odczytać z tablic trygonometrycznych. Wiesz już jak to robić. Sinus trzydziestu czterech stopni to 0,5592, a sinus sześćdziesięciu trzech stopni to 0,8910. Pomnóżmy obie strony równania przez 0,8910. Otrzymujemy, że b równa się 5 razy 0,8910 podzielić przez 0,5592. Po obliczeniu tego na kalkulatorze i zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku otrzymujemy że b to w przybliżeniu 7,97. Przejdźmy do kolejnego zadania. Jeden z kątów trójkąta ma miarę 40 stopni. Bok leżący naprzeciw tego kąta ma długość 3, a inny z boków tego trójkąta ma długość 4. Oblicz miary pozostałych kątów. Od czego zaczynamy? Od stworzenia rysunku. Zatrzymaj lekcję i zrób to teraz. Rysujemy trójkąt. Tutaj zapisujemy 40 stopni. Przeciwległy bok ma długość 3. Z treści zadania wiemy, że inny z boków tego trójkąta ma długość 4. Nie jest podane który. Niech to będzie ten bok. Oznaczmy pozostałe kąty literami beta i gamma. Teraz możemy ułożyć odpowiednie równanie korzystając z twierdzenia sinusów. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Tutaj mamy 40 stopni. Znamy długość boku naprzeciw tego kąta. Zapisujemy zatem iloraz: 3 przez sinus czterdziestu stopni. To równa się ilorazowi czterech czyli długości tego boku i sinusa kąta beta. Wyznaczmy z tego równania sinus beta. Mnożymy obie strony równania przez sinus beta. Otrzymujemy sinus beta razy 3 przez sinus czterdziestu stopni równa się 4. Teraz obie strony mnożymy przez sinus czterdziestu stopni a następnie dzielimy przez 3. Sinus beta równa się zatem 4 razy sinus czterdziestu stopni podzielić przez 3. Odczytujemy z tablic trygonometrycznych ile to jest sinus czterdziestu stopni. Wynosi 0,6428. Otrzymujemy sinus beta równa się w przybliżeniu 4 razy 0,6428 podzielić przez 3. Sinus beta to zatem około 0,8570. Odczytujemy z tablic kąt którego sinus to 0,8570. Tym kątem jest około 59 stopni. Obliczyliśmy miarę kąta beta. Jak obliczymy kąt gamma? Wystarczy skorzystać z twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Miara kąta gamma to w przybliżeniu 180 stopni odjąć 40 stopni odjąć 59 stopni. Dlaczego w przybliżeniu? Dlatego, że kąt beta został podany w przybliżeniu. Kąt gamma ma miarę około 81 stopni. Pozostałe kąty trójkąta mają około 59 stopni i około 81 stopni. Wykonaliśmy nasze zadanie. Przejdźmy dalej. W twierdzeniu sinusów zawarta jest jeszcze jedna dodatkowa moc. Mianowicie, w każdym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Co to oznacza? Narysujmy okrąg, a jego promień oznaczmy wielką literą R. Długość średnicy to zatem 2R. Teraz wpiszmy w ten okrąg trójkąt na przykład taki. Oznaczmy jego kąty greckimi literami alfa, beta i gamma. Długość boku naprzeciw kąta alfa oznaczmy literą a. Długość boku naprzeciw kąta beta literą b. A długość boku naprzeciw kąta gamma literą c. Twierdzenie sinusów mówi, że długość średnicy, czyli 2R jest taka sama jak a przez sinus alfa, a to jest to samo co b przez sinus beta, a to z kolei równa się c przez sinus gamma. Pokażę Ci jak wykorzystać to twierdzenie. Mamy za zadanie obliczyć długość odcinka a. Spójrz na ilustrację. Mamy okrąg. Długość promienia to 2. Spójrz na trójkąt. Jest on wpisany w okrąg. Jeden z kątów trójkąta ma 40 stopni. Długość boku naprzeciw kąta o mierze czterdziestu stopni ma długość a. Jak wykorzystać twierdzenie sinusów do obliczenia długości boku oznaczonej literą a? Z twierdzenia wynika, że długość średnicy czyli 2R, jest taka sama jak stosunek długości boku a do sinusa kąta znajdującego się naprzeciw tego boku czyli do sinusa czterdziestu stopni. R to 2. Czyli 2R to 4. Sinus czterdziestu stopni to około 0,6428. Otrzymujemy 2 razy 2, czyli 4 równa się a przez 0,6428. Teraz mnożymy obie strony równania przez 0,6428. A równa się 4 razy 0,6428. Czyli 2,5712. Zapiszmy odpowiedź, zaokrąglając wynik do drugiego miejsca po przecinku. Długość a to 2,57. Przejdźmy do ostatniego przykładu. Widzimy okrąg o promieniu x i wpisany w niego trójkąt o kątach 75 stopni i 45 stopni oraz boku o długości pierwiastka z sześciu. Naszym zadaniem jest obliczenie długości promienia. Zastanów się jak rozwiązać to zadanie. Znamy długość tego boku więc aby skorzystać z rozszerzonego twierdzenia sinusów potrzebujemy miarę tego kąta. Skoro te 2 kąty sumują się do stu dwudziestu stopni to do stu osiemdziesięciu stopni brakuje nam jeszcze sześćdziesięciu stopni. Ten kąt ma więc 60 stopni. Spróbuj teraz zapisać odpowiednie równanie korzystając z poznanego twierdzenia. Z rozszerzonego twierdzenia sinusów wiemy że długość średnicy, czyli 2x to tyle samo co, iloraz długości tego boku przez sinus sześćdziesięciu stopni. Sinus sześćdziesięciu stopni to pierwiastek z trzech przez 2. Mamy zatem 2x równa się pierwiastek z sześciu podzielić przez pierwiastek z trzech przez 2. Przekształcając prawą stronę mamy 2x równa się 2 pierwiastki z sześciu przez pierwiastek z trzech. Podzielmy obie strony równania przez 2. x równa się pierwiastek z sześciu przez pierwiastek z trzech czyli pierwiastek z 6/3 czyli pierwiastek z dwóch. Promień tego okręgu to pierwiastek z dwóch. Wykonaliśmy wszystkie zadania w tej lekcji! Dobra robota! Gratulacje! W każdym trójkącie stosunek długości dowolnego boku tego trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do zasubskrybowania naszego kanału aby być na bieżąco!