Dowody matematyczne - pole

Najbardziej prestiżową nagrodą przyznawaną za osiągnięcia w nauce jest nagroda Nobla. Ciekawostką jest, że nie można jej otrzymać za osiągnięcia w matematyce. Sam Nobel zastrzegł to w swoim testamencie. Istnieje wiele plotek dotyczących tej decyzji. Ustanowiono jednak inne nagrody dla matematyków o których dowiesz się oglądając pozostałe lekcje z tego działu. Na rysunku prostokąt ABCD podzielono na 6 kwadratów: jeden duży, dwa średnie i trzy małe. Uzasadnij, że pole powierzchni dużego kwadratu jest większe niż połowa powierzchni prostokąta ABCD. Z treści zadania wiemy, że prostokąt ABCD podzielono na 6 kwadratów. Tutaj mamy trzy małe tu dwa średnie a tu jeden duży. Zauważ, że nie podano nam długości żadnego boku. Znamy tylko sposób podziału dużego prostokąta. Mamy uzasadnić, że pole powierzchni dużego kwadratu jest większe niż połowa powierzchni prostokąta ABCD. Zauważ, że bok dużego kwadratu jest taki sam jak krótszy bok prostokąta. Spróbujmy na początku ułatwić sobie zadanie i przyjąć, że ten krótszy bok prostokąta i zarazem bok dużego kwadratu ma jakąś konkretną długość. Może ona być dowolna. Zwróć jednak uwagę, że tutaj mamy trzy identyczne kwadraty. Oznacza to, że lewy bok prostokąta podzielono na 3 jednakowe części. Z prawej strony mamy dwa identyczne kwadraty. Prawy bok prostokąta podzielono zatem na dwie jednakowe części. Jaka liczba dzieli się zarówno przez 3 jak i przez 2? Na przykład 6. Przyjmijmy, że długość krótszego boku prostokąta wynosi zatem 6. Moglibyśmy wybrać dowolną wartość ale w tym przypadku obliczenia będą prostsze. Powiedzieliśmy, że bok dużego kwadratu jest taki sam jak krótszy bok prostokąta. Ile wynosi pole dużego kwadratu? 6 do kwadratu czyli 36. Potrzebujemy jeszcze pola prostokąta. Długość krótszego boku prostokąta już znamy. Teraz obliczymy długość dłuższego boku Kilka chwil temu powiedziałem że skoro tutaj mamy trzy kwadraty to krótszy bok prostokąta podzielono na 3 jednakowe odcinki. Długość boku małego kwadratu to jedna trzecia długości krótszego boku prostokąta czyli 2. Skoro tutaj mamy dwa kwadraty to krótszy bok prostokąta dzielimy na 2 jednakowe odcinki. Długość jednego z tych dwóch odcinków to jedna druga długości tego boku, czyli 3. Długość dłuższego boku prostokąta wynosi 2 dodać 6 dodać 3, czyli 11. A ile wynosi pole tego prostokąta? 11 razy 6, czyli 66. Czy pole dużego kwadratu jest zatem większe niż połowa powierzchni prostokąta ABCD? Połowa powierzchni prostokąta to 66 podzielić przez 2, czyli 33. Pole dużego kwadratu to 36. W tym konkretnym przypadku, gdy długość krótszego boku prostokąta wynosi 6 pole powierzchni dużego kwadratu jest większe niż połowa powierzchni prostokąta. Pokazanie, że coś jest prawdziwe tylko dla jednego przypadku nie jest, niestety, dowodem matematycznym. Jak już mówiłem, nie podano w treści zadania ani jednej długości. Mamy zatem uzasadnić, że niezależnie od tego jakie będą długości boków prostokąta pole powierzchni dużego kwadratu przy takim podziale będzie większe niż połowa powierzchni tej figury. Obliczenia na liczbach pomagają nam w ustaleniu, jaki będzie sposób myślenia. Zobacz. Najpierw przyjęliśmy, że długość krótszego boku prostokąta to 6. Teraz przyjmijmy, że długość boku AD to x. Długość boku dużego kwadratu jest taka sama więc również wynosi x. Pole kwadratu o długości boku równej x to x do kwadratu. Teraz zabierzemy się za prostokąt. Żeby wyznaczyć pole prostokąta potrzebujemy jeszcze długości dłuższego boku. Jak ją znaleźć? Masz jakiś pomysł? Długość tego odcinka to jedna trzecia długości tego boku, czyli jedna trzecia x. Ten odcinek ma długość równą jednej drugiej długości tego boku czyli jednej drugiej x. Długość dłuższego boku prostokąta jest sumą długości tych trzech odcinków. Aby dodać do siebie jedną trzecią x x oraz jedną drugą x sprowadzamy te 3 składniki do wspólnego mianownika którym jest na przykład liczba 6. Co otrzymujemy? Dwie szóste x dodać sześć szóstych x dodać trzy szóste x. To daje nam jedenaście szóstych x. To jest długość dłuższego boku prostokąta. Pole prostokąta to iloczyn długości krótszego boku, czyli x oraz długości dłuższego boku która wynosi jedenaście szóstych x. x razy jedenaście szóstych x to jedenaście szóstych x do kwadratu. W treści zadania mowa jednak o połowie pola prostokąta. Jedenaście szóstych x do kwadratu mnożymy zatem przez jedną drugą otrzymując jedenaście dwunastych x do kwadratu. Co jest większe? Pole kwadratu, czyli x kwadrat czy pole połowy prostokąta czyli jedenaście dwunastych x kwadrat? x do kwadratu to inaczej dwanaście dwunastych x do kwadratu a to więcej niż jedenaście dwunastych x do kwadratu. Udowodniliśmy, że pole dużego kwadratu to zawsze więcej niż połowa pola powierzchni prostokąta przy takim podziale, jak na rysunku. Kończymy nasz dowód rysując na końcu kwadracik. Gratulacje! Każdy bok trójkąta równobocznego ABC podzielono na trzy równe części, jak na rysunku. Uzasadnij, że pole czworokąta EBGH stanowi cztery dziewiąte pola całej figury. Przyjrzyjmy się dokładnie tej ilustracji. Wiemy, że trójkąt ABC jest równoboczny. Tutaj, tutaj i tutaj mamy zatem kąty o miarach 60 stopni. Każdy bok tego trójkąta podzielono na 3 jednakowe części. Przyjmijmy, że każda z nich ma długość x. Wewnątrz trójkąta ABC znajdują się 3 inne figury: Trójkąt HGC trójkąt AEH oraz czworokąt EBGH. Mamy uzasadnić, że pole czworokąta stanowi cztery dziewiąte pola całej figury. Zastanówmy się najpierw, jak wyznaczyć pole czworokąta EBGH. Czy masz jakiś pomysł, jak to zrobić? Moim zdaniem najłatwiej od pola trójkąta ABC odjąć pola trójkątów HGC i AEH. Spróbujmy zatem wyznaczyć najpierw pola tych dwóch trójkątów. Zacznijmy może od tego mniejszego. Czy to jest trójkąt równoboczny? Zauważ, że te dwa boki są identyczne. Tutaj mamy 60 stopni. Trójkąt równoramienny, który między ramionami ma kąt o mierze 60 stopni, jest równoboczny. Skoro to jest trójkąt równoboczny to jego pole wynosi x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4. Przenieśmy się teraz do trójkąta AEH. To też jest trójkąt równoboczny bo te dwa ramiona są identycznej długości a między nimi jest kąt o mierze 60 stopni. Bok tego trójkąta ma długość 2x. Pole tego trójkąta to dwa x w nawiasie do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4. 2x w nawiasie do kwadratu to 4x do kwadratu. Otrzymujemy 4x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4. W liczniku są same iloczyny więc skracamy czwórki i otrzymujemy x kwadrat razy pierwiastek z 3. Obliczmy teraz pole trójkąta ABC. Jedna część z trzech ma długość x więc 3 takie części będące bokiem trójkąta ABC mają łączną długość 3x. Pole trójkąta ABC to 3x w nawiasie do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4 czyli 9x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4. Obliczmy teraz pole czworokąta EBGH który pokolorowałem na różowo. Tak jest bardziej widoczny. To pole obliczamy odejmując od pola trójkąta ABC pole trójkąta HGC oraz pole trójkąta AEH. 9x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4 odjąć x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4 odjąć 4x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4. Zwróć uwagę, że pole trójkąta AEH zapisałem w takiej postaci, a nie w takiej ponieważ tutaj w mianowniku mam 4 tak jak w pozostałych ułamkach. Dzięki temu będę mógł łatwo wykonać odejmowanie. Wynikiem tego odejmowania jest ułamek 4x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4. Czwórki skracamy i otrzymujemy x do kwadratu razy pierwiastek z 3. Zostało nam wyznaczenie stosunku pola czworokąta do pola całej figury. Dzielimy zatem pole czworokąta EBGH przez pole trójkąta ABC. Otrzymujemy x do kwadratu razy pierwiastek z 3 podzielić przez ułamek, który ma w liczniku 9x do kwadratu razy pierwiastek z 3 a w mianowniku 4. Zamieńmy ten piętrowy ułamek na iloczyn. Przepisujemy licznik, czyli x do kwadratu razy pierwiastek z 3. To mnożymy przez odwrotność tego co jest w mianowniku tego ułamka czyli przez ułamek, który w liczniku będzie miał 4 a w mianowniku 9 x do kwadratu razy pierwiastek z 3. Zwróć uwagę, że x do kwadratu razy pierwiastek z 3 możemy skrócić. Otrzymujemy cztery dziewiąte. Uzasadniliśmy, że pole czworokąta EBGH stanowi cztery dziewiąte pola całej figury czyli pola trójkąta ABC. To jest koniec naszego dowodu. Na końcu rysujemy zatem kwadracik. Gratulacje! Czasami rozwiązanie zadania dowodowego niewiele się różni od zadania rachunkowego. Różnica jest taka, że w przypadku zadania dowodowego z góry znamy wynik. Możemy zatem sprawdzić czy nasze obliczenia są poprawne. Zapraszam cię do obejrzenia kolejnych lekcji o dowodach matematycznych. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi działami zasubskrybuj nasz kanał.