Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wygląda wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów.
  • jak korzystać ze wzoru na sumę sześcianów,
  • jak udowodnić prawdziwość wzoru na sumę sześcianów,
  • jak przekształcać wyrażenia korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Dwie kostki Rubika osobno łatwiej ułożyć niż jedną która powstałaby z ich połączenia a w przypadku dodawania sześcianów czasem lepiej jest odwrotnie zapisać tę sumę w bardziej skomplikowanej algebraicznej postaci. Przydaje się to w rozwiązywaniu równań które poznasz w dalszych etapach nauki. Kolejny wzór skróconego mnożenia to wzór na sumę sześcianów. a do sześcianu dodać b do sześcianu równa się w nawiasie, a dodać b zamykamy nawias, razy w nawiasie a do kwadratu odjąć a razy b dodać b do kwadratu, zamykamy nawias. Wzory skróconego mnożenia umożliwiają przekształcanie wyrażeń do innych postaci dzięki czemu łatwiej rozwiązywać pewne równania, o których dowiesz się w kolejnych latach nauki. Czy masz jakiś pomysł, jak udowodnić że ten wzór jest prawdziwy? Spróbujmy przekształcić prawą stronę równania tak, aby otrzymać to co jest po lewej stronie. Wystarczy pomnożyć oba nawiasy mnożąc każdy element z pierwszego przez każdy element z drugiego. Otrzymamy: a razy a do kwadratu czyli a do sześcianu. a razy minus ab to minus a do kwadratu razy b a razy b do kwadratu, to ab do kwadratu b razy a do kwadratu, to ba do kwadratu b razy minus ab, to minus ab do kwadratu b razy b do kwadratu, to b do sześcianu. Po uproszczeniu otrzymujemy a do sześcianu dodać b do sześcianu. Udowodniliśmy, że lewa strona równa się prawej przekształcając prawą stronę. Przekształcenie lewej strony do prawej nie jest już takie oczywiste. Takimi dowodami zajmowali się pasjonaci algebry już w starożytności. Pokażę Ci sposób rozumowania i sztuczkę, którą zastosowali. Mamy a do sześcianu dodać b do sześcianu. Chcąc z czegoś mniej rozbudowanego stworzyć bardziej skomplikowany zapis potrzebujemy większej liczby elementów. Skąd je wziąć? Przepiszmy najpierw a do sześcianu. Skorzystajmy ze sztuczki o której mówiłem. Nie zmieniając wartości wyrażenia możemy do niego coś dodać a potem odjąć. Jak mówiłem, wartość wyrażenia się nie zmieni ale mamy więcej elementów do przekształcania. Dodajmy do naszego a do sześcianu a kwadrat b i odejmijmy a kwadrat b. Od tego wszystkiego odejmijmy jeszcze ab do kwadratu i dodajmy ab do kwadratu. Na końcu zapisujemy b do sześcianu. Zobacz. Dwukrotnie dodaliśmy i odjęliśmy pewne wyrażenie. Dzięki temu nie zmieniliśmy wartości wyrażenia po lewej stronie. Zapisaliśmy je tylko w innej postaci. Bardziej złożonej. Taką da się dalej przekształcać. Spójrz na dwa pierwsze elementy. Jaki wspólny czynnik możemy wyciągnąć przed nawias? a do kwadratu. Otrzymamy a plus b w nawiasie razy a do kwadratu. Spójrz na dwa kolejne składniki. Tutaj wspólnym czynnikiem będzie minus ab. Po wyciągnięciu go przed nawias mamy minus ab razy w nawiasie a plus b. Spójrz na dwa ostatnie elementy. Co powinniśmy wyciągnąć przed nawias? b do kwadratu. Po wyłączeniu tego czynnika dostaniemy b do kwadratu razy w nawiasie a plus b. W każdym z tych trzech elementów występuje a dodać b. Wyciągnijmy teraz ten czynnik przed nawias. Otrzymamy w nawiasie a dodać b razy w nawiasie a do kwadratu odjąć ab dodać b do kwadratu. Udowodniliśmy, że lewa strona równa się prawej. Poćwiczmy sobie teraz stosowanie tego wzoru. Polecenie brzmi następująco. Korzystając ze wzoru na sumę sześcianów przekształcić wyrażenie: 8 dodać x do sześcianu. Porównajmy to z poznanym wzorem. Mamy w nim sumę dwóch sześcianów. Oba składniki sumy są zapisane w postaci trzecich potęg. W naszym przykładzie tylko x ma trzecią potęgę. Co zatem zrobić z ósemką? Zapiszmy ją w postaci trzeciej potęgi jakiejś innej liczby. Jakiej? Dwójki, bo 2 do potęgi trzeciej to 8. 8 dodać x do sześcianu to inaczej 2 do sześcianu dodać x do sześcianu. Teraz możemy zastosować poznany wzór. W miejsce litery a wstawiamy 2 a w miejsce litery b, literę x. Otrzymamy w nawiasie 2 dodać x zamykamy nawias, razy w nawiasie 2 do kwadratu odjąć 2x dodać x kwadrat. 2 do kwadratu to 4, więc mamy w nawiasie 2 dodać x, zamykamy nawias razy w nawiasie 4 odjąć 2x dodać x do kwadratu zamykamy nawias. Na koniec zadanie dla Ciebie. Mamy tutaj 27a do sześcianu dodać 125. Przekształć to wyrażenie korzystając ze wzoru na sumę sześcianów. Czy mamy tutaj sumę trzecich potęg? No nie. Musimy przekształcić tę sumę. Niech nie zwodzi Cię ta trzecia potęga. Ona jest tylko przy a. Do trzeciej potęgi ma być podniesiony cały składnik a ten składa się z iloczynu liczb 27 i a do sześcianu. 27 to 3 do potęgi trzeciej więc 27a do potęgi 3 to 3a w nawiasie do sześcianu. 125 to 5 do sześcianu. Teraz mamy sumę sześcianów. 3a do sześcianu dodać 5 do sześcianu. Możemy skorzystać ze wzoru? Możemy. W miejsce litery a wstawiamy 3a a w miejsce litery b, liczbę 5. Otrzymujemy w nawiasie 3a dodać 5 Zamykamy nawias, razy w nawiasie 3a do kwadratu gdzie 3a mamy również w nawiasie odjąć 3a razy 5 dodać 5 do kwadratu. Pierwszy nawias przepisujemy a drugi upraszczamy. Otrzymujemy w nawiasie 3a dodać 5 zamykamy nawias, razy w nawiasie 9a kwadrat odjąć 15a dodać 25 zamykamy nawias. Gotowe. Dzięki poznanemu wzorowi będziesz w stanie w szybki sposób przekształcić sumę sześcianów na iloczyn dwóch wyrażeń algebraicznych. Umiejętność tę wykorzystasz w kolejnych lekcjach. Zapraszam Cię do obejrzenia wszystkich lekcji o sześcianach w wyrażeniach algebraicznych. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi filmami zasubskrybuj nasz kanał.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Zofia Borysiewicz

Materiały: Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

meisjedevos (CC0)
kostkarubika005 (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg