Z tego filmu dowiesz się:

  • jak upraszczać wyrażenia korzystając z sześcianu sumy i sześcianu różnicy,
  • jak rozkładać na czynniki wyrażenia korzystając z sześcianu sumy i sześcianu różnicy,
  • jak usuwać niewymierność z mianownika korzystając z sześcianu sumy i sześcianu różnicy.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Niektórzy muszą usuwać ósemki żeby zrobić miejsce dla pozostałych zębów. To boli. Usuwanie niewymierności z mianownika nie jest bolesne, jeśli zna się wzory. W tej lekcji pokażę Ci, jak stosować wzory skróconego mnożenia z sześcianami do usuwania niewymierności z mianownika. Zacznijmy tę lekcję od takiego zadania. Doprowadź do jak najprostszej postaci wyrażenie. Otwieramy nawias x dodać 1 zamykamy nawias do potęgi trzeciej, dodać otwórzmy nawias 3 odjąć x zamknijmy nawias, do potęgi 3. Mamy tutaj sumę dwóch nawiasów które podnosimy do potęgi trzeciej. Pierwszy składnik to sześcian sumy a drugi to sześcian różnicy. Skorzystaj z odpowiednich wzorów skróconego mnożenia aby przekształcić to wyrażenie. Po skorzystaniu z poznanych wzorów mamy: w pierwszym nawiasie x do sześcianu dodać 3 razy x do kwadratu razy 1 dodać 3 razy x razy 1 do kwadratu dodać 1 do potęgi 3. W drugim nawiasie mamy zaś: 3 do sześcianu odjąć 3 razy 3 do kwadratu razy x dodać 3 razy 3 razy x do kwadratu odjąć x do sześcianu. Pierwszy krok za nami. Teraz należy uprościć jednomiany. x do sześcianu przepisujemy. 3 razy x do kwadratu razy 1 to 3x do kwadratu. 3 razy x razy 1 do kwadratu to 3x. 1 do sześcianu to 1. 3 do potęgi trzeciej to 27. -3 razy 3 do kwadratu razy x to -27x. 3 razy 3 razy x do kwadratu to 9x do kwadratu. minus x do sześcianu przepisujemy. Co dalej? Spróbuj uprościć to wyrażenie redukując wyrazy podobne. x do sześcianu odjąć x do sześcianu to zero. 3x kwadrat dodać 9x kwadrat to 12x kwadrat. 3x odjąć 27x to minus 24x. 1 dodać 27 to 28. Otrzymaliśmy wyrażenie: 12x kwadrat odjąć 24x dodać 28. Wykonaliśmy pierwsze zadanie. Dobra robota. Przejdźmy do kolejnego wyzwania. Rozłóż na czynniki podane wyrażenie stosując wzory skróconego mnożenia. Pierwszym wyrażeniem, które mamy rozłożyć na czynniki jest: a do sześcianu dodać 27. Rozłożyć wyrażenia na czynniki to znaczy zapisać je w postaci iloczynu. W treści tego zadania podpowiedziano nam aby skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia. Z jakiego wzoru możemy skorzystać w tym przykładzie? Zauważ, że mamy tutaj sumę dwóch składników sześcianu liczby a oraz liczby 27. Czy liczbę 27 da się zapisać w postaci sześcianu jakiejś liczby? Tak. To 3 do sześcianu. Mamy zatem a do sześcianu dodać 3 do sześcianu. Stosujemy zatem wzór na sumę sześcianów. W podstawie pierwszego sześcianu jest a a drugiego 3. W pierwszym nawiasie zapisujemy sumę tych podstaw, czyli a dodać 3. Ten nawias mnożymy przez drugi nawias w którym mamy: a kwadrat odjąć 3a dodać 3 do kwadratu, czyli 9. Gotowe. Rozłożyliśmy to wyrażenia na czynniki. Rozłóżmy teraz na czynniki wyrażenie: 1 odjąć y do sześcianu. Na początku zastanawiamy się z którego wzoru skorzystamy. Patrząc na to wyrażenie dostrzegamy y w trzeciej potędze. Ten składnik odejmujemy od jedynki a 1 to przecież 1 do sześcianu. Skorzystamy zatem ze wzoru na różnicę sześcianów. Spróbuj to zrobić samodzielnie. W pierwszym nawiasie zapisujemy różnicę 1 odjąć y. A w drugim: 1 do kwadratu dodać 1 razy y dodać y kwadrat. Pierwszy nawias przepisujemy a drugi upraszczamy otrzymując 1 dodać y dodać y do kwadratu. Przejdźmy do kolejnego przykładu. 125x odjąć 27 razy x do potęgi czwartej. Ten przykład jest nieco inny niż poprzednie. Na pierwszy rzut oka nie mamy tutaj żadnych sześcianów. Czy możemy je jakoś uzyskać? Zauważ, że x do potęgi czwartej to x razy x do trzeciej. W odjemnej też mamy x. Możemy zatem wyłączyć ten wspólny czynnik przed nawias. Otrzymujemy: x razy, w nawiasie 125 odjąć 27x do sześcianu. 27 to 3 do potęgi trzeciej więc 27x do sześcianu to inaczej w nawiasie 3x zamykamy nawias podniesione do potęgi trzeciej. Odjemnik mamy już w trzeciej potędze. A co z odjemną? 125 to inaczej 5 do sześcianu. Podstawa odjemnej to 5 a odjemnika 3x. W nawiasie otrzymaliśmy różnicę sześcianów. Teraz możemy rozłożyć ten nawias na czynniki. W pierwszym nawiasie mamy różnicę podstaw czyli 5 odjąć 3x a w drugim pierwszą podstawę do kwadratu dodać iloczyn podstaw czyli 5 razy 3x dodać drugą podstawę do kwadratu a więc w nawiasie 3x zamykamy nawias do kwadratu. Wracając do naszego wyjściowego wyrażenia przepisujemy x razy w nawiasie 5 odjąć 3x zamykamy nawias a drugi nawias upraszczamy wykonując odpowiednie działania. Otrzymujemy 25 dodać 15x dodać 9x kwadrat. Gotowe. Kolejne polecenie brzmi: usuń niewymierność z mianownika. W pierwszym przykładzie mamy: 1 podzielić przez pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu odjąć 1. Co to znaczy usunąć niewymierność z mianownika? To znaczy przekształcić ułamek tak aby w mianowniku nie było pierwiastków czyli niewymierności. Pokażę Ci coś, co ułatwi Ci zrozumienie tego, co zaraz zrobimy. Jak to zrobić? Spójrz na taką różnicę. Pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu do potęgi trzeciej odjąć 1 do potęgi trzeciej. Spróbuj samodzielnie rozłożyć tę sumę na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów. W pierwszym nawiasie zapisujemy: pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu odjąć 1 a w drugim: pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu do kwadratu dodać pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu dodać 1. Czy widzisz tu coś ciekawego? Masz rację, ten nawias to nic innego jak mianownik naszego ułamka. Jeśli więc pomnożymy licznik i mianownik przez to wyrażenie to mianownik będziemy mogli zapisać jako pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu do sześcianu odjąć 1 do sześcianu. W liczniku zostanie 1 razy wyrażenie w nawiasie. Wracamy do mianownika. Pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu do sześcianu to 5 a 1 do sześcianu to 1. W liczniku przepisujemy wyrażenie w nawiasie a w mianowniku dostajemy 4. Jak widzisz, cały myk w tym zadaniu polega na tym, aby dostrzec w mianowniku jeden z dwóch czynników odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia. W tym przypadku wystarczy zauważyć że niewymierność zniknie nam po podniesieniu tego pierwiastka do potęgi trzeciej. Skoro pierwiastek podnieśliśmy do sześcianu to podnieśmy też jedynkę. W tej różnicy dostrzegamy wzór na różnicę sześcianów. Rozkładając tę różnicę na czynniki otrzymamy czynnik, przez który należy pomnożyć licznik i mianownik. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Teraz naszym zadaniem jest usunięcie niewymierności z mianownika takiego ułamka. 5 podzielić przez pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch dodać 4. Zauważmy, że niewymierność zniknie nam gdy pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch podniesiemy do potęgi trzeciej do tego dodajemy 4 i tę liczbę też podnosimy do sześcianu w tej sumie dostrzegamy wzór na sumę sześcianów. Pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do potęgi trzeciej dodać 4 do sześcianu to inaczej w nawiasie pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch dodać 4 zamykamy nawias razy w nawiasie pierwiastek 3 stopnia z dwóch do kwadratu odjąć pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch razy 4 dodać 4 do kwadratu czyli 16. Dostrzegamy, że mianownik ułamka jest taki sam jak ten nawias. Licznik i mianownik mnożymy zatem przez drugi nawias. W liczniku otrzymamy: 5 razy w nawiasie pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do kwadratu odjąć pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch razy 4 dodać 4 do kwadratu. A w mianowniku, w nawiasie pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch dodać 4 zamykamy nawias, razy w nawiasie pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do kwadratu odjąć pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch razy 4 dodać 16. Teraz przepisujemy licznik a mianownik zamieniamy na sumę sześcianów czyli pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do sześcianu dodać 4 do sześcianu. Znów przepisujemy licznik a w mianowniku otrzymujemy 2 dodać 64. Raz jeszcze przepisujemy licznik a w mianowniku zapisujemy 66. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje. Dzięki znajomości wzorów na sześcian sumy i sześcian różnicy bez problemu poradzisz sobie z upraszczaniem wyrażeń algebraicznych rozłożeniem wyrażenia na czynniki jak również usunięciem niewymierności z mianownika. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tej playlisty oraz do zasubskrybowania naszego kanału.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Zofia Borysiewicz

Materiały: Krzysztof Chojecki, Agnieszka Opalińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

brgfx (CC BY)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg