Z tego filmu dowiesz się:

  • jak metodą grupowania wyrazów doprowadzać wielomiany do postaci iloczynowej,
  • jak zapisywać wielomiany w postaci iloczynowej wyciągając wspólny czynnik przed nawias,
  • jak wykorzystywać wzory skróconego mnożenia do rozkładania wielomianów na iloczyn czynników.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Czy wiesz, że bez szyfrowania informacji można by stracić wszystkie oszczędności na koncie? Nic więc dziwnego, że matematycy wciąż szukają nowych sposobów szyfrowania danych. Do jednego z nich potrzebna jest znajomość szczególnych wielomianów zwanych wielomianami Viète'a — Lucasa. W tej lekcji pokażę Ci kolejne sposoby przekształcania wielomianów do postaci iloczynowej. Rozpocznijmy od takiego przykładu. Moglibyśmy pozbyć się nawiasów i zobaczyć, czy otrzymamy coś co można doprowadzić do postaci iloczynowej. Zróbmy jednak inaczej. Zauważ, że w obu składnikach występuje x dodać 2 w nawiasie. Wyciągnijmy to wyrażenie przed nawias. Co nam pozostanie w nawiasie? Z pierwszego składnika x kwadrat z drugiego natomiast 1. Zauważ, że jeśli pomnożylibyśmy oba te nawiasy to otrzymalibyśmy pierwotne wyrażenie. To jest iloczyn dwóch nawiasów ale możemy rozłożyć go jeszcze bardziej wykorzystując wzór skróconego mnożenia. W efekcie otrzymamy, że W od x równa się w nawiasie x dodać 2 razy, w nawiasie x dodać 1 i razy, w nawiasie x odjąć 1. I to jest odpowiedź do naszego zadania. Ten przykład jest dla Ciebie. Zatrzymaj film i samodzielnie rozwiąż to zadanie. Postępujemy jak poprzednio wyciągamy x odjąć 2 przed nawias. Pozostanie nam x kwadrat odjąć 4. Czwórkę możemy zapisać jako 2 do kwadratu. Teraz stosujemy wzór skróconego mnożenia. Otrzymujemy: W od x równa się w nawiasie x odjąć 2 razy w nawiasie x dodać 2 i razy w nawiasie x odjąć 2. Zwróć uwagę, że x odjąć 2 występuje tutaj i tutaj. Dlatego możemy napisać, że W od x równa się, w nawiasie x odjąć 2 do kwadratu, razy w nawiasie x dodać 2. W nawiasach otrzymaliśmy wyrażenie najniższego możliwego stopnia czyli pierwszego. Jest to zatem odpowiedź do naszego zadania. Poprzednie przykłady były całkiem proste. Teraz pokażę Ci typowe przykłady z którymi będziesz mieć do czynienia. Jeśli mamy 4 składniki, tak jak w tym przykładzie, to wystarczy połączyć je w pary. Z pierwszych dwóch wyrazów wyciągnijmy x kwadrat przed nawias. Mamy wtedy x kwadrat razy w nawiasie x dodać 3. Z kolejnych dwóch składników wyciągnijmy przed nawias 2. Otrzymamy: 2 razy, w nawiasie x dodać 3. Czy wiesz już co robić dalej? Zatrzymaj film i sprawdź się. Odpowiedź poznasz za chwilę. Wyciągamy x dodać 3 przed nawias i zostaje nam x kwadrat dodać 2. Czy jest to koniec? Nie, musimy jeszcze sprawdzić czy x kwadrat dodać 2 możemy rozłożyć na czynniki stopnia pierwszego. Obliczmy deltę, przy czym współczynnik przy x wynosi 0. Stąd delta równa się 0 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 2 a to jest mniejsze od zera. Wyrażenia x kwadrat dodać 2 nie można więc przedstawić w postaci iloczynowej. To, co otrzymaliśmy jest rozwiązaniem naszego zadania. Metoda, której użyliśmy nosi nazwę grupowania wyrazów. Na czym polega? Na doprowadzaniu naszego wielomianu do postaci iloczynowej dzięki dostrzeżeniu w składnikach jednakowych czynników. Ten sposób jest bardzo użyteczny dlatego warto go przećwiczyć. Kontynuujemy rozkładanie wielomianów. Rozwiąż ten przykład samodzielnie. Z pierwszych dwóch składników możemy wyciągnąć x do trzeciej. Zróbmy to. W nawiasie zostanie nam x odjąć 2. Z kolejnych dwóch składników wyciągnijmy –9x przed nawias. W nawiasie też zostanie nam x odjąć 2. Teraz widzimy, że wspólnym czynnikiem który możemy wyciągnąć przed nawias jest wyrażenie x odjąć 2. Co nam zostanie jako drugi czynnik? x do trzeciej odjąć 9x. Co dalej? Z tego nawiasu możemy wyciągnąć x i zostanie nam x kwadrat odjąć 9. Zastosujmy wzór skróconego mnożenia. Na końcu otrzymujemy: W od x równa się x, razy w nawiasie x odjąć 2 razy, w nawiasie x dodać 3 i razy, w nawiasie x odjąć 3. Każdy czynnik ma stopień 1 zatem jest to koniec naszego zadania. Schrup orzeszka, a po przerwie poznasz ostatni przykład z tej lekcji. W tym przykładzie wielomian W od x ma aż 6 składników! Zrób to zadanie samodzielnie wykorzystując metodę grupowania wyrazów. Z pierwszych trzech składników wyciągnijmy x do trzeciej. W nawiasie pozostanie nam: x kwadrat dodać x dodać 1. Z kolejnych trzech składników możemy wyciągnąć dwójkę. Wtedy w nawiasie również mamy x kwadrat dodać x dodać 1. Już widzisz, do czego zmierzamy? Wyciągnijmy x kwadrat dodać x dodać 1 przed nawias. Pozostanie nam x do trzeciej dodać 2. Teraz trzeba sprawdzić czy to co znajduje się w pierwszym nawiasie możemy jeszcze rozłożyć na czynniki. Liczymy deltę. 1 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 1 a to jest mniejsze od zera. Skoro delta jest ujemna, to tego nawiasu nie da się bardziej rozłożyć. Popatrzmy na drugi. Jest to wyrażenie stopnia trzeciego dlatego na pewno możemy rozłożyć je na czynniki. Dwójkę zapiszmy jako pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do potęgi trzeciej. Wtedy możemy zastosować wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów. Mamy więc: W od x równa się, w nawiasie x kwadrat dodać x dodać 1, razy w nawiasie x dodać pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch razy w nawiasie x kwadrat odjąć x razy pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch dodać pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do kwadratu. Obliczmy jeszcze deltę tego wyrażenia. Pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do kwadratu, a to jest mniejsze od zera. Dlatego nie możemy rozbić tego wyrażenia na czynniki niższego stopnia. Koniec obliczeń. Metoda grupowania wyrazów opiera się w głównej mierze na intuicji i doświadczeniu. Wraz z liczbą rozwiązanych przykładów będziesz intuicyjnie wiedzieć co wyciągnąć przed nawias. Jedną z metod rozkładu wielomianu na czynniki, jest grupowanie wyrazów. Polega ona na wielokrotnym wyłączaniu przed nawias wspólnego czynnika. Jest to kolejny film z serii o rozkładaniu wielomianów na czynniki. Może ten temat pojawił się ostatnio na Twojej klasówce? Jak Ci poszło? Pochwal się tym w komentarzu i nie zapomnij zasubskrybować naszego kanału!

Lista wszystkich autorów

Lektor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Patryk Bojarski

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Grzegorz Jakubiec, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Clker-Free-Vector-Images (CC0)
talhakhalil007 (CC0)
Materialscientist (Domena publiczna)
rawpixel (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg