Z tego filmu dowiesz się:

  • jak zamieniać postać iloczynową funkcji kwadratowej na ogólną i kanoniczną.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Możesz nie zdawać sobie z tego sprawy ale z równaniami kwadratowymi uczeń spotyka się niechcący już w szkole podstawowej. Na przykład, pole kwadratu jest obliczane jako kwadrat długości boku. A jeśli znamy pole? Wtedy możemy obliczyć bok a rozwiązując równanie kwadratowe: P równa się a do kwadratu gdzie a to długość boku naszej figury. W geometrii trzeba tylko pamiętać że długości zawsze są nieujemne Dlatego przyjmujemy tylko dodatnie rozwiązania takiego równania. Potrafisz już zamieniać postać ogólną i kanoniczną na iloczynową. Teraz pokażę Ci jak to działa w drugą stronę czyli jak zamieniać postać iloczynową na ogólną i kanoniczną. Spójrz na taką funkcję: y równa się 3 razy, w nawiasie x odjąć 1 zamykamy nawias razy w drugim nawiasie x dodać 2. Spróbuj samodzielnie przekształcić ten wzór wymnażając po kolei wszystkie czynniki. Najpierw pomnożę nawiasy x razy x to x kwadrat x razy 2 to 2x -1 razy x to -x a -1 razy 2 to -2. Zamykam nawias. Po uproszczeniu otrzymamy 3 razy, w nawiasie x kwadrat dodać x odjąć 2. Teraz każdy element nawiasu mnożę przez 3 i dostaję 3x kwadrat dodać 3x odjąć 6. Mamy postać ogólną funkcji kwadratowej. Aby zamienić postać iloczynową na ogólną wystarczy zapisać tę postać jako sumę algebraiczną czyli wymnożyć wszystkie czynniki. Spróbuj teraz samodzielnie zapisać w postaci ogólnej funkcję: y równa się -2 razy, w nawiasie x dodać 3 zamykamy nawias razy w drugim nawiasie x dodać 1. Po wymnożeniu wszystkich czynników otrzymujemy -2x kwadrat odjąć 8x odjąć 6. Masz taki sam wynik? To gratuluję. A jak zamienić postać iloczynową na postać kanoniczną? Zastanówmy się najpierw czy każdą funkcję kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej da się zapisać w postaci kanonicznej. Jak myślisz? Wiesz, że każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma wierzchołek. Oznacza to, że każdą funkcję kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej da się zapisać w postaci kanonicznej. Jednym ze sposobów jest zamiana postaci iloczynowej do ogólnej a następnie wyliczenie współrzędnych wierzchołka ze znanych wzorów. Zobacz. Postać ogólna funkcji: y równa się -2 razy, w nawiasie x dodać 3 zamykamy nawias razy w drugim nawiasie x dodać 1 to -2x kwadrat odjąć 8x odjąć 6. Czego potrzebujemy do postaci kanonicznej? Współczynnika a oraz współrzędnych wierzchołka czyli p i q. Oblicz p i q samodzielnie korzystając ze wzorów na p: -b przez 2a, oraz na q: minus delta przez 4a. p to 8 podzielić przez -4, czyli -2. Do q potrzebujemy delty czyli b kwadrat odjąć 4 razy a razy c. Otrzymujemy w nawiasie -8 zamykamy nawias do kwadratu odjąć 4 razy -2 razy -6, co daje 16. q równa się zatem -16 podzielić przez -8, czyli 2. Zapisz samodzielnie postać kanoniczną tej funkcji kwadratowej. Współczynnik a to -2, p to -2, a q to 2. Postać kanoniczna tej funkcji to -2 razy, w nawiasie x dodać 2 zamykamy nawias, do kwadratu dodać 2. Gotowe. Istnieje też drugi sposób zamiany. Spójrz na postać iloczynową takiej funkcji: y równa się 2 razy, w nawiasie x odjąć 3 razy, w drugim nawiasie x odjąć 1. Wiemy, że miejsca zerowe tej funkcji to 3 i 1. Wiemy też, że ramiona tej funkcji są skierowane w górę. Narysujmy wykres pomocniczy czyli parabolę przechodzącą przez x równy 3 i przez x równe 1. Nie znamy wartości współrzędnych wierzchołka. Mamy je obliczyć. Istnieje wiele parabol przechodzących przez te dwa miejsca z ramionami skierowanymi do góry. Jak zatem znaleźć konkretny wierzchołek przypisany do naszej paraboli? Wiemy, że każda parabola jest symetryczna względem pewnej prostej której równanie to x równa się p. To znaczy, że prosta symetrii przechodzi dokładnie w połowie odległości miejsc zerowych. Jest zatem średnią arytmetyczną ich sumy. p liczymy zatem, dodając do siebie współrzędne x-owe obu miejsc zerowych i dzieląc wynik przez 2. Otrzymujemy 1 dodać 3 podzielić przez 2, czyli 2. p jest równe dwóm. A jak obliczyć q? q to inaczej wartość którą funkcja przyjmuje dla argumentu p. Możemy ją obliczyć, wstawiając do wzoru w miejsce x wartość p, czyli 2. Otrzymujemy 2 razy, w nawiasie 2 odjąć 3 razy, w drugim nawiasie 2 odjąć 1, czyli -2. Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie o współrzędnych 2 i -2. Możemy zapisać postać kanoniczną tej funkcji? Możemy. To 2 razy, w nawiasie x odjąć 2 zamykamy nawias do kwadratu odjąć 2. Gotowe. Zamieniając postać iloczynową na kanoniczną wybierz sposób który jest dla ciebie wygodniejszy. Teraz pora na trening zdobytej wiedzy. Zamień postać iloczynową funkcji: y równa się 2 razy w nawiasie x odjąć 1 razy w drugim nawiasie x dodać 4 na postać ogólną i kanoniczną. Najpierw postać ogólna. Wystarczy przemnożyć wszystkie czynniki. Otrzymujemy: 2 razy, w nawiasie x kwadrat dodać 4x odjąć x odjąć 4 czyli 2 razy, w nawiasie x kwadrat dodać 3x odjąć 4 a po wymnożeniu nawiasu przez 2 2x kwadrat dodać 6x odjąć 8. Teraz postać kanoniczna. Możemy wykorzystać do tego otrzymaną już postać ogólną. p to -b podzielić przez 2a czyli -6 podzielić przez 4 co daje -3/2. q to minus delta przez 4a. Liczymy deltę: 6 kwadrat odjąć 4 razy 2 razy -8 czyli 36 dodać 64 a to wynosi 100. q równa się zatem: -100 podzielić przez 8, czyli -12,5. Teraz wystarczy zapisać postać kanoniczną czyli 2 razy, w nawiasie x dodać 3/2 zamykamy nawias do kwadratu odjąć 12,5. Współrzędne wierzchołka tej funkcji możesz też obliczyć drugim sposobem. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Pierwsza współrzędna wierzchołka czyli p jest równa średniej arytmetycznej miejsc zerowych. Te odczytujemy z postaci iloczynowej. To 1 i -4. 1 dodać -4 podzielić przez 2 daje -3/2, czyli nasze p to -3/2. q to wartość funkcji dla argumentu równego -3/2 co obliczamy, wstawiając do tego wzoru w miejsce x, -3/2. Otrzymujemy 2 razy, w nawiasie -3/2 odjąć 1 razy, w drugim nawiasie -3/2 dodać 4. Otrzymamy, tak jak poprzednią metodą -12,5. Gotowe. Aby zamienić postać iloczynową funkcji kwadratowej na postać ogólną wykonujemy takie działania jak na wyrażeniach algebraicznych. Postać iloczynową możemy zamienić na kanoniczną na dwa sposoby. Przejść przez postać ogólną albo skorzystać ze wzorów na p i q. p to średnia arytmetyczna miejsce zerowych a q to wartość funkcji dla argumentu p. W tym dziale znajdziesz niezbędną wiedzę dotyczącą postaci iloczynowej funkcji kwadratowej oraz rozwiązywania równań kwadratowych. Jeśli lubisz nasze lekcje to polub naszą stronę na Facebooku.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Opracowanie dźwięku: Aleksander Margasiński

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

freepik (Licencja Freepik)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg