Z tego filmu dowiesz się:

  • co to jest stożek,
  • co to jest tworząca stożka,
  • gdzie jest wysokość stożka,
  • jak obliczyć objętość stożka.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Spróbuj przeprowadzić kiedyś następujący eksperyment. Weź latarkę i stań w kompletnie ciemnym pokoju. Następnie włącz latarkę i poświęć przed siebie. Strumień światła wychodzący z latarki układa się w pewien kształt. Jak go nazywamy? Tego dowiesz się z tego filmu. Wiesz już, że bryły obrotowe powstają poprzez obrót pewnej figury płaskiej. Co otrzymamy, jeżeli obrócimy trójkąt równoramienny na przykład wokół osi obrotu która pokrywa się z jego wysokością? Przekonajmy się. Otrzymaną bryłę nazywamy stożkiem. Nasz stożek powstał poprzez obrót trójkąta równoramiennego wokół osi obrotu pokrywającej się z jego wysokością. Podobnie jak w walcu możemy wyróżnić tutaj kilka charakterystycznych odcinków. Na początku wysokość stożka. Zobacz, że wysokość stożka pokrywa się z osią obrotu. Jest ona jednocześnie równa wysokości trójkąta równoramiennego który obracaliśmy na samym początku. Jaka figura jest podstawą stożka? To oczywiście koło. A każde koło ma swój promień. Ten odcinek nazywamy promieniem stożka. Na rysunku dobrze widać, że promień stożka jest równy połowie podstawy trójkąta równoramiennego. W stożku oprócz promienia i wysokości wyróżniamy jeszcze jeden charakterystyczny odcinek. Połączmy wierzchołek stożka to ten punkt na szczycie z dowolnym punktem przy podstawie. Na przykład tym. Odcinek, który otrzymaliśmy nazywamy tworzącą stożka i oznaczamy małą literą l. Czym jest tworząca w trójkącie równoramiennym? To ramię obracanego trójkąta. Czy są inne sposoby na otrzymanie stożków? Sprawdźmy. Na ekranie widzisz teraz dwa identyczne trójkąty prostokątne. Jeden zaznaczyłem na fioletowo a drugi na zielono. Podobnie jak poprzednio obróćmy je wokół ich wysokości. Powinieneś wiedzieć że w trójkątach prostokątnych dwie wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi. Fioletowy trójkąt obrócimy wokół tej przyprostokątnej. Natomiast zielony trójkąt wokół tej przyprostokątnej. Zobaczmy, co otrzymamy. Spróbujmy teraz porównać te dwa stożki. Aby było nam prościej obróćmy ten zielony stożek w lewo tak, aby leżał na swojej podstawie. Zobacz. Obracaliśmy ten sam trójkąt prostokątny ale wokół różnych odcinków. W rezultacie otrzymaliśmy dwa różniące się od siebie stożki. Porównajmy ich wysokości i promienie. Wysokość pierwszego stożka to ten odcinek natomiast jego promień to ten odcinek. A teraz zatrzymaj film i samodzielnie znajdź wysokość oraz promień tego zielonego stożka. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Wysokość zielonego stożka to ten odcinek natomiast jego promień to ten odcinek. Co możemy zauważyć ciekawego? Że wysokość fioletowego stożka jest równa promieniowi zielonego stożka. Tak samo wysokość zielonego stożka jest równa promieniowi fioletowego stożka. Ale jest tutaj o wiele ciekawszy fakt. Czym są te poszczególne odcinki w naszych trójkątach prostokątnych? To przyprostokątne. A co z przeciwprostokątną? Przeciwprostokątna w obu tych przypadkach jest tworzącą stożka ponieważ w obu tych trójkątach przyprostokątne są takie same. W takim razie te przeciwprostokątne będą sobie równe. Czyli tworząca fioletowego stożka i tworząca zielonego stożka są sobie równe. Wysokość, promień oraz tworząca w każdym stożku tworzą trójkąt prostokątny. A to oznacza, że możemy zapisać zależność pomiędzy nimi wykorzystując twierdzenie Pitagorasa czyli uzyskujemy że r kwadrat dodać H kwadrat to l kwadrat. Znamy już charakterystyczne odcinki w stożku. Spróbujmy teraz wyznaczyć jego objętość. Stożek jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa który ma w swojej podstawie koło. Pamiętasz jaki jest wzór na objętość ostrosłupa? To 1/3 razy pole podstawy razy wysokość. Wysokość oznaczyliśmy jako H. Ile wynosi pole podstawy stożka? Ponieważ podstawą stożka jest koło pole tej podstawy policzymy ze wzoru na pole koła, czyli pi r kwadrat. Podstawiając pi r kwadrat do wzoru otrzymujemy, że objętość stożka to 1/3pi razy r kwadrat razy H. Pamiętaj, że objętość brył oznaczamy wielką literą V. Zapamiętaj ten wzór. Przyda nam się w kolejnych zadaniach. Na ekranie masz narysowany walec oraz stożek. Te dwie bryły mają taki sam promień. r równy 3 centymetrom. Jednocześnie mają też taką samą wysokość H równą 6 centymetrom. Policzmy ich objętość. Pamiętasz jaki był wzór na objętość walca? To pi r kwadrat razy H. A wzór na objętość stożka? Mówiliśmy o nim przed chwilą. To 1/3pi r kwadrat razy H. Najpierw zajmijmy się objętością walca. W miejsce r podstawiam 3 centymetry a w miejsce H 6 centymetrów. Objętość tego walca to pi razy 3 do kwadratu razy 6. 3 do kwadratu to 9 a 9 razy 6 to 54 Ostatecznie otrzymujemy że objętość tego walca to pi razy 54 centymetry sześcienne. A teraz zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć objętość stożka. Potem porównaj swoją odpowiedź z moją. Postępujemy analogicznie. W miejsce r podstawiamy 3. A w miejsce H podstawiamy 6. Liczymy dalej. 3 do kwadratu to 9 1/3 razy 9 to 3 a 3 razy 6 to 18. Objętość tego stożka to pi razy 18 centymetrów sześciennych. Być może zauważyłeś pewne podobieństwo w tych dwóch wzorach. Widzimy, że objętość walca jest większa. Ile razy większa? Sprawdź to sam. Dzielimy objętość walca przez objętość stożka. pi nam się skróci. Tak samo centymetry sześcienne. A 54 przez 18, to 3. Widzimy, że objętość walca jest 3 razy większa od objętości stożka. Ale o czym musimy pamiętać? Tak się dzieje tylko wtedy kiedy obie te bryły mają taki sam promień i taką samą wysokość. Mówiąc obrazowo w tym walcu zmieściłyby się 3 takie stożki. Można to przedstawić graficznie. Zobacz. 3 stożki o takich samych wysokościach i takich samych promieniach mieszczą się w jednym walcu który ma taką samą wysokość jak każdy z tych trzech stożków oraz taki sam promień. Istnieje jeszcze jeden sposób na tworzenie stożków. Mamy tutaj pewien żółty odcinek. Obrócimy go teraz wokół pewnej prostej. Patrz uważnie. Co otrzymaliśmy? Wygląda to jak stożek. Jednak tym razem jest pusty w środku. Może Ci to przypominać wafelek do lodów. Po takiej ilości przyswojonej wiedzy przyda nam się jakaś nagroda. Lody będą do tego idealne. Każdy stożek ma trzy charakterystyczne odcinki. Wysokość oznaczoną dużą literą H promień oznaczony małą literą r i tworzącą oznaczoną małą literą l. Te trzy odcinki zawsze tworzą trójkąt prostokątny więc ich długości możesz obliczać z twierdzenia Pitagorasa. Objętość stożka, jak każdego ostrosłupa obliczamy mnożąc pole podstawy przez wysokość i dzieląc wynik przez 3. Właśnie zobaczyłeś film z playlisty o stożkach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pi-stacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Joanna Mędrzycka

Materiały: Joanna Mędrzycka, Aleksandra Wojnicz

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg