Nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą – zadania

Playlista: Równania i nierówności liniowe

Z tego filmu dowiesz się:


  • jak rozwiązywać zadania tekstowe wykorzystując nierówności liniowe,
  • czym jest podatek liniowy i podatek wg skali,
  • jak zaznaczać rozwiązanie na osi liczbowej oraz zapisywać je w postaci zbioru,
  • czym są nierówności sprzeczne i tożsamościowe.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Agnieszka Opalińska, Patryk Bojarski

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Google Classroom
Microsoft Teams

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Link do tej strony
Link do filmu na YouTube

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Znany ekonomista Frédéric Bastiat mawiał, że każdy chce żyć na koszt państwa zapominając, że to państwo żyje na jego koszt. W Polsce można płacić podatek według skali podatkowej albo podatek liniowy, wprost proporcjonalny do wysokości dochodów. Jeśli planujesz w przyszłości prowadzić biznes, nieraz przyjdzie ci się zastanawiać, która z tych opcji jest dla ciebie bardziej korzystna. Odpowiedź znajdziesz na końcu tej lekcji. Rozwiążmy taką nierówność. 4 razy 4 odjąć 3x jest większe od x dodać 4. Na początku pomnóżmy nawias przez 4. Dostajemy 16 odjąć 12x jest większe niż x dodać 4. Przenosimy niewiadome na lewą, a liczby na prawą stronę nierówności, pamiętając o zmianie znaków. Otrzymujemy minus 12x odjąć x jest większe niż 4 odjąć 16. Po wykonaniu obliczeń mamy minus 13x jest większe od minus 12. Obie strony należy teraz podzielić przez minus 13 pamiętając, że przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić zwrot nierówności. Wynikiem jest: x jest mniejsze od 12/13. Zaznaczmy ten zbiór na osi liczbowej. Nierówności spełniają wszystkie liczby mniejsze od 12/13, co zaznaczamy na osi w taki sposób. Jako że 12/13 nie spełnia naszej nierówności, to pozostawimy ten punkt pusty w środku. Możemy zapisać, że x należy do przedziału otwartego od minus nieskończoności do 12/13. Teraz spróbujmy rozwiązać taką nierówność. 2 razy x dodać 1,5 jest mniejsze lub równe 5x odjąć 7. Spróbuj zrobić to samodzielnie. Na początku wymnażamy nawias przez 2. Otrzymujemy 2x dodać 3 jest mniejsze bądź równe 5x odjąć 7. Przenosimy niewiadome na lewą a liczby na prawą stronę, pamiętając o zmianie znaku. Dostajemy 2x odjąć 5x jest mniejsze bądź równe minus 7 odjąć 3. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy: minus 3x jest mniejsze bądź równe minus 10. Dzieląc obie strony przez minus 3 pamiętamy o zmianie zwrotu nierówności na przeciwny. Co otrzymujemy? x jest większe bądź równe 10/3, czyli 3 i 1/3. Zaznaczmy to rozwiązanie na osi liczbowej. Iksy spełniające nierówność są większe od 3 i 1/3, dlatego zaznaczamy wszystkie liczby leżące na prawo od tego punktu. A czy 3 i 1/3 spełnia naszą nierówność? Tak, ta liczba spełnia naszą nierówność, dlatego ten punkt musimy zamalować. Możemy napisać, że x należy do przedziału lewostronnie domkniętego od 3 i 1/3 do nieskończoności. Spróbujmy rozwiązać taką nierówność. x podzielić przez 4 dodać 1/6 jest mniejsze od x podzielić przez 3. Na początku spróbujmy pozbyć się ułamków. Pomnóżmy obie strony nierówności przez najmniejszą wspólną wielokrotność wszystkich mianowników, czyli przez 12. Otrzymujemy 3x dodać 2 jest mniejsze od 4x. Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę nierówności. Dostajemy minus x jest mniejsze od minus 2. Obie strony należy pomnożyć przez minus 1, aby pozbyć się minusa przy niewiadomej. Minus 1 jest liczbą ujemną, dlatego należy zmienić zwrot nierówności. Pamiętaj o tym – to bardzo ważne! Otrzymujemy, że x jest większe od 2. Zaznaczmy to rozwiązanie na osi liczbowej. Skoro iksy są większe od dwójki, to zaznaczam wszystkie liczby na prawo od niej. Czy 2 będzie rozwiązaniem tej nierówności? Nie, ponieważ mamy do czynienia z nierównością ostrą. Dlatego tego punktu nie zamalowujemy. Czy potrafisz zapisać rozwiązanie w postaci przedziału? Piszemy, że x należy do przedziału otwartego od 2 do nieskończoności. Teraz przyjrzyjmy się takiej nierówności. x dodać 1 podniesione do kwadratu dodać 2x jest większe bądź równe x kwadrat odjąć x. Podpowiem ci, że należy skorzystać tutaj ze wzoru skróconego mnożenia Z tą wiedzą spróbuj rozwiązać ten przykład samodzielnie. Po skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia, Otrzymujemy x kwadrat dodać 2x dodać 1 dodać 2x jest większe bądź równe x kwadrat odjąć x. Odejmijmy od obu stron x kwadrat. Dostajemy 4 x dodać 1 jest większe bądź równe minus x. Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą i otrzymujemy, że 5x jest większe bądź równe minus 1. Dzielimy obustronnie przez 5 i mamy x jest większe bądź równe minus 1/5. Zaznaczmy to rozwiązanie na osi liczbowej. Iksy są większe bądź równe minus 1/5, dlatego zaznaczamy wszystkie liczby na prawo od niej. Minus 1/5 należy do zbioru rozwiązań, ponieważ mamy nierówność nieostrą, dlatego ten punkt zamalowujemy. Zapisujemy też, że x należy do przedziału lewostronnie domkniętego od minus 1/5 do nieskończoności. Mamy do rozwiązania taką nierówność: 6x odjąć 7 dzielone przez 3 jest większe od 2x. Mnożymy obie strony przez 3, aby pozbyć się ułamków. Otrzymujemy 6x odjąć 7 jest większe od 6x. Od obu stron nierówności odejmijmy teraz 6x. Dostajemy nierówność minus 7 jest większe od zera. To nie jest prawda. Nie ma zatem takiej liczby, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej spełniać będzie tę nierówność. Piszemy więc, że x należy do zbioru pustego. Był to przykład nierówności sprzecznej. Kolejny przykład to x odjąć 3 dzielone przez 2 dodać x dodać 1 dzielone przez 2 jest mniejsze bądź równe x. Mnożymy obie strony przez 2 i otrzymujemy x odjąć 3 dodać x dodać 1 jest mniejsze bądź równe 2x. Po obliczeniach dostajemy 2x odjąć 2 jest mniejsze bądź równe 2x. Teraz od obu stron odejmujemy 2x. Co nam pozostało? Minus 2 jest mniejsze bądź równe 0. Taka nierówność jest zawsze spełniona, zatem x może przyjąć dowolną wartość. Innymi słowy możemy zapisać, że x należy do zbioru liczb rzeczywistych. Był to przykład nierówności tożsamościowej. Przejdźmy teraz do zagadnienia, które poruszyłem na początku tej lekcji. Przedsiębiorca może wybrać, czy chce płacić podatek liniowy, czy według skali podatkowej. Przy jakich dochodach bardziej opłaci mu się wybrać podatek liniowy, jeśli wiadomo, że stawka tego podatku wynosi 19%, a skala podatkowa ma dwa progi: 18% dla dochodu poniżej 85 000 zł i 32% dla dochodu powyżej 85 000 zł. Zauważ, że jeśli dochód przedsiębiorcy jest mniejszy od kwoty pierwszego progu podatkowego 85 000 zł, to nie opłaca mu się rozliczać podatkiem liniowym, ponieważ jego stawka, czyli 19% jest wyższa od stawki podatku według skali. Rozpatrujemy zatem tylko sytuację, w której dochód przedsiębiorcy przekraczać będzie 85000 zł. Oznaczmy ten dochód literą x. Podatek liniowy to po prostu 19% od dochodu niezależnie od jego wysokości, czyli piszemy 19% razy x. Co innego podatek według skali podatkowej dla dochodów do 85 000 zł wynosi on 18%, czyli 18% razy 85000 zł, natomiast dla nadwyżki ponad 85 000 zł jest to 32%, czyli 32% razy x odjąć 85 000 zł. Dla jakich dochodów podatek liniowy będzie korzystniejszy dla przedsiębiorcy? Szukamy sytuacji, w której 19% razy x jest mniejsze niż 18% razy 85 000 dodać 32% razy x odjąć 85 000 zł. Otrzymujemy nierówność. Pozbądźmy się jednostek i zamieńmy procenty na ułamki dziesiętne. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie rozwiązać tę nierówność. Lewą stronę przepisujemy, natomiast po prawej wykonujemy obliczenia. 0,18 razy 85 000 to 15 300 dodać 0,32x odjąć 0,32 razy 85 000, czyli 27 200. Przenosimy niewiadome na lewą stronę pamiętając o zmianie znaku. Po wykonaniu odejmowania otrzymujemy minus 0,13x jest mniejsze od minus 11 900. Obie strony dzielimy przez minus 0,13. Pamiętamy oczywiście o zmianie zwrotu nierówności. Otrzymujemy: x jest większe od 91 538 złotych i 46 groszy. Zatem jeśli dochód przedsiębiorcy przekracza tę kwotę, to powinien on rozliczać się na zasadach podatku liniowego. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór liczb, który możemy zapisać w postaci przedziału lub zaznaczyć na osi liczbowej. Rozwiązaniem nierówności tożsamościowej jest zbiór liczb rzeczywistych, a nierówności sprzecznej – zbiór pusty. Jeśli ten film ci się spodobał, to zachęcam cię do zostawienia łapki w górę. Jeśli masz jakieś pytanie, to napisz je w komentarzu. Na pewno na nie odpowiemy!

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by