Z tego filmu dowiesz się:

  • jak dzielić czworokąty na trójkąty podobne,
  • jak obliczać długości boków korzystając z podziału na trójkąty podobne,
  • jak obliczać miary kątów korzystając z podziału na trójkąty podobne.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Stosując metodę punktów możemy dowolną figurę podzielić na nieskończoną liczbę trójkątów. Wystarczy, że wewnątrz figury narysujesz punkt w dowolnym miejscu a następnie połączysz go ze wszystkimi wierzchołkami. Potem dorysujesz punkt wewnątrz każdego z trójkątów i połączysz go z wierzchołkami danego trójkąta. W taki sposób mogą powstawać niesamowite wzory. Spróbujmy rozwiązać takie zadanie. Oblicz pole trójkąta ABS wiedząc że długość odcinka AB wynosi 10 centymetrów długość odcinka CD wynosi 2 centymetry a wysokość trapezu ABCD wynosi 6 centymetrów. Zanim przejdziemy do obliczeń przyjrzymy się dokładniej naszemu trapezowi ABCD. Wewnątrz niego znalazły się aż cztery trójkąty, prawda? Jednak nas w szczególności interesuje trójkąt ABS. Bo to właśnie jego pole mamy policzyć. Znamy długość podstawy AB. Ma ona 10 centymetrów. Wiemy także, że pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru długość podstawy razy wysokość przez 2. Tutaj moglibyśmy podstawić 10. Jednak nie znamy niestety jeszcze wysokości naszego trójkąta. Dzięki informacji z polecenia wiemy że podstawa CD trójkąta CDS ma długość 2 centymetrów. Czyli znamy długości podstaw tego trójkąta oraz tego trójkąta. Musimy tylko znaleźć wysokości poprowadzone z tych podstaw. Wysokość poprowadzona z podstawy DC prezentuje się w taki sposób. A wysokość poprowadzona z podstawy AB wygląda w ten sposób. Zobacz. Te dwie wysokości razem mają taką samą długość jak wysokość naszego trapezu prawda? Mając takie informacje spróbujmy udowodnić, że duży trójkąt jest podobny do małego trójkąta. Bo wtedy w prosty sposób moglibyśmy obliczyć wysokość trójkąta ABS. To do dzieła. Chcemy sprawdzić czy trójkąt SAB jest podobny do trójkąta SCD. Schowajmy na chwilę wysokości naszych trójkątów. Aby mieć więcej miejsca na zaznaczanie odpowiednich kątów. Na początku porównajmy te dwa kąty. Widzimy, że są to kąty wierzchołkowe. Zatem ich miary są równe. Sprawdźmy teraz, czy miary kątów zaznaczonych na różowo są identyczne. Kąty te stanowią parę kątów naprzemianległych. A jak wiemy, kąty naprzemianległe mają takie same miary. Czyli w tym miejscu możemy wpisać beta oraz w tym miejscu możemy wpisać beta. Pozostało nam tylko sprawdzić czy te dwa kąty także są takie same. Udowodniliśmy, że dwa kąty w naszych trójkątach są identyczne zatem z sumy miar kątów w trójkącie wynika, że ten kąt jest taki sam jak ten kąt. Świetnie, udowodniliśmy, że trójkąt SAB jest podobny do trójkąta SCD. Wróćmy więc do postaci rysunku gdzie mieliśmy zaznaczone wysokości naszych trójkątów. Oznaczmy poszukiwaną przez nas wysokość trójkąta ABS, jako h. Skoro badane trójkąty są podobne możemy wyznaczyć skalę podobieństwa k. Zrobimy to, obliczając stosunek długości podstawy dużego trójkąta do długości podstawy małego trójkąta. Gdy podzielimy długość odcinka AB czyli 10, przez długość odcinka DC czyli 2, otrzymamy 5. Skoro wyszło nam, że skala podobieństwa naszych trójkątów wynosi 5 to wiemy, że wysokość trójkąta SAB jest 5 razy większa od wysokości trójkąta SCD. Mając te informacje zapiszmy odpowiednie proporcje. Stosunek długości wysokości trójkąta ABS czyli h do wysokości tego trójkąta. A tę wysokość możemy zapisać jako 6 minus ta wysokość h, prawda? Czyli wysokość małego trójkąta wynosi 6 minus h i ze skali podobieństwa wiemy, że ten stosunek równa się 5. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie z zapisanego równania wyznaczyć naszą wysokość h. Mnożymy stronami razy 6 minus h co da nam h równa się 30 minus 5h następnie 5h przenosimy na lewą stronę co da nam 6h równa się 30. Następnie dzielimy stronami przez 6 i otrzymujemy, że nasze h jest równe pięciu centymetrom. Czyli ta wysokość tutaj ma dokładnie 5 centymetrów. Możemy teraz obliczyć pole trójkąta ABS. Mamy długość podstawy czyli 10 razy długość wysokości poprowadzonej z tej podstawy czyli 5 podzielone na 2 da nam 25 centymetrów kwadratowych. I to jest odpowiedź do pierwszego zadania. Treść drugiego zadania brzmi. Trapez ABCD jest równoramienny. Jego dłuższa podstawa ma długość 12 centymetrów a każde z ramion 5 centymetrów. Punkt S wyznaczono w miejscu przecięcia przedłużenia ramion AD i CB. Wiedząc, że długość odcinka CS to 10 centymetrów oblicz długość krótszej podstawy. To znaczy, musimy ustalić jaka liczba ukryła się pod tym x, bo to właśnie on oznacza wartość długości krótszej podstawy. Aby to zrobić, posłużymy się ponownie podobieństwem trójkątów. Zobacz, mamy tu dwa trójkąty. Duży ABS oraz mniejszy DCS. Mają one wspólny kąt alfa. Co oznacza, że znaleźliśmy już jeden kąt który ma taką samą miarę w małym trójkącie jak i w dużym trójkącie. Spójrzmy teraz na te dwa kąty zaznaczone na niebiesko. Wiemy, że odcinek AB jest równoległy względem odcinka DC ponieważ są to dwie podstawy trapezu. Zatem możemy stwierdzić, że odcinek BS jest nachylony względem odcinka AB pod takim samym kątem jak względem odcinka DC. Powstała nam tutaj para kątów odpowiadających które, jak pamiętasz mają takie same miary. Z tych samych powodów te kąty są odpowiadające zatem mają takie same miary. Wykazaliśmy, że nasze trójkąty mają takie same kąty. Co pozwala nam stwierdzić, że trójkąt ABS jest podobny do trójkąta DCS na podstawie cechy kąt, kąt, kąt . Zapisujemy proporcje odpowiednich boków czyli podstawa do podstawy oraz ramię do ramienia. Po wymnożeniu na krzyż otrzymamy 15x równa się 120 następnie dzielimy stronami przez 15 czyli ostatecznie wychodzi że x jest równy 8 centymetrom. Możemy podać odpowiedź. Długość krótszej podstawy to 8 centymetrów. Rozwiążmy teraz takie zadanie. W deltoidzie ABCD przekątne przecinają się w punkcie S tak, że długość odcinka DS jest równa długości odcinka BS. Oblicz pole tego deltoidu wiedząc że trójkąty ASD i BSC są podobne. Przekątna BD ma długość 12 centymetrów a odcinek AS ma długość 4 centymetrów. Zacznijmy od zakolorowania trójkątów o których wiemy, że są podobne. Z polecenia wiemy, że trójkąt ASD jest podobny do trójkąta BSC. Z własności deltoidu wiemy że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Zatem wiemy, że nasze zakolorowane trójkąty to trójkąty prostokątne. Spójrzmy teraz na przekątną BD. Wiemy, że długość odcinka DS jest równa długości odcinka BS. Zatem te 12 centymetrów możemy zamienić na taki zapis bo gdy 12 podzielimy na 2 to otrzymamy 6 centymetrów tutaj i 6 centymetrów tutaj. Świetnie, opisaliśmy już bardzo dokładnie nasz deltoid. Teraz zastanówmy się, jak wykorzystać fakt że trójkąt ASD jest podobny do trójkąta BSC. Skoro są one podobne to wiemy że stosunek długości dłuższej przyprostokątnej do krótszej przyprostokątnej będzie taki sam w różowym trójkącie i w niebieskim trójkącie. Stosunek długości dłuższej przyprostokątnej do krótszej przyprostokątnej w niebieskim trójkącie będzie wynosił 6 centymetrów przez 4 centymetry. A w różowym trójkącie x centymetrów przez 6 centymetrów. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć wartość x. Po wymnożeniu na krzyż otrzymamy że 4x równa się 36. Zatem gdy podzielimy stronami przez 4 otrzymamy, że x jest równy 9 centymetrom. Pole deltoidu obliczymy ze wzoru P równa się e razy f przez 2. Gdzie e oznacza długość jednej przekątnej a f długość drugiej przekątnej. Przekątna BD ma długość 12 centymetrów a przekątna AC ma 4 plus 9 czyli 13 centymetrów. Musimy zatem pomnożyć 12 razy 13 a następnie otrzymany wynik podzielić przez 2. Co da nam 156 podzielić na 2 czyli ostatecznie otrzymamy że pole naszego deltoidu to 78 centymetrów kwadratowych. W czworokątach także możemy znaleźć trójkąty podobne. Przekątne w rombie i równoległoboku dzielą te figury na trójkąty podobne. Przedłużenie ramion dowolnego trapezu do przecięcia w jednym punkcie także pozwala zauważyć trójkąty podobne. Zachęcam Cię do obejrzenia pozostałych naszych filmów oraz polubienia naszej strony na Facebook 'u PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Agnieszka Opalińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg