Dowód twierdzenia cosinusów

Francuski filozof Monteskiusz powiedział że twierdzenia matematyczne uważane są za prawdziwe albowiem w niczyim interesie nie leży by uważać je za fałszywe. Matematykom nie wystarcza jednak uważanie. By twierdzenie uznać za prawdziwe muszą je udowodnić. Ja w tej lekcji pokażę Ci jak udowodnić twierdzenie cosinusów. W tym filmie wytłumaczę Ci skąd się bierze twierdzenie cosinusów. Zacznijmy od przypomnienia o czym mówi to twierdzenie. Pozwala ono obliczyć długość boku trójkąta jeśli znamy długości dwóch pozostałych boków i miarę kąta między nimi. Dla narysowanego trójkąta zależność ta będzie wyglądać tak: c kwadrat to a kwadrat dodać b kwadrat odjąć 2 razy a razy b razy cosinus gamma. Pokażę Ci jak udowodnić że ten wzór jest prawdziwy. Ale zanim pokażę Ci dowód, prześledźmy rozumowanie na konkretnym przykładzie. Przyjrzyjmy się trójkątowi o bokach 10 i 7 oraz kącie między nimi o mierze czterdziestu stopni. Znamy zatem długości dwóch boków i miarę kąta między nimi. Chcemy obliczyć miarę trzeciego boku tego trójkąta. Aby móc skorzystać z funkcji trygonometrycznych, warto znaleźć kąt prosty. Jak go uzyskać w tym trójkącie? Masz jakiś pomysł? Możemy narysować wysokość. Mamy do wyboru 3. Ważne, żeby wybrać taką, która nie podzieli nam kąta czterdziestu stopni. Ja wybieram tę poprowadzoną na bok o długości 10. Czy masz już pomysł jak używając tych danych obliczyć długość boku c? Gdybyśmy znali długości przyprostokątnych w tym trójkącie prostokątnym to moglibyśmy użyć do tego twierdzenia Pitagorasa. Czy wiesz jak można obliczyć długości tych dwóch boków? Możemy wykorzystać 40 stopni oraz funkcje trygonometryczne. Ja to zrobię w sposób który pomoże nam potem udowodnić twierdzenie cosinusów. Dla ułatwienia oznaczam przez z i y odcinki, na które wysokość podzieliła podstawę. Długość którego odcinka możemy obliczyć licząc cosinus czterdziestu stopni? Będzie to przyprostokątna przyległa do kąta czterdziestu stopni. Zapiszmy: cosinus czterdziestu stopni to y przez 7. y to 7 razy cosinus czterdziestu stopni a to około 5,36. Zauważ, że w tym trójkącie znamy już długości dwóch boków. Do obliczania trzeciego możemy zatem skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Zapiszmy: 7 kwadrat to h kwadrat dodać y kwadrat. h kwadrat to 49 odjąć y kwadrat. Po wstawieniu w miejsce litery y jej przybliżonej wartości, czyli 5,36 otrzymamy około 20,27. Nie musimy wyciągać pierwiastka z tej liczby. Kwadrat h przyda nam się w dalszych obliczeniach. Teraz możemy obliczyć długość odcinka c ponieważ mamy długości obu przyprostokątnych. c do kwadratu to h do kwadratu dodać z do kwadratu. Odcinek z to różnica dziesięciu i y. Wartość y jest przybliżona więc długość odcinka z to około 10 odjąć około 5,36, czyli około 4,64. Potrzebujemy kwadratu z co wynosi w przybliżeniu 21,53. Po wstawieniu wartości h kwadrat i z kwadrat okazuje się że c kwadrat to 21,53 dodać 20,27, czyli około 41,8. Znając wartość c do kwadratu możemy obliczyć wartość c która wyniesie około 6,47. Za chwilę uogólnimy nasze rozumowanie. Mówiąc najprościej przeprowadzimy je na literkach. Załóżmy że znamy długości dwóch boków a i b oraz miarę kąta alfa zawartego między nimi. Naszym celem jest wyprowadzenie twierdzenia cosinusów czyli udowodnienie że c do kwadratu to a do kwadratu dodać b do kwadratu odjąć 2ab cosinus alfa. Przypomnę, że naszym celem jest zapisanie długości boku c korzystając z długości boków a i b oraz miary kąta alfa. Zaczynamy od narysowania wysokości opadającej na bok b. Oznaczmy jej długość literą h tak jak poprzednio. Ta wysokość dzieli bok b na 2 odcinki. Długość tego oznaczymy literą y a tego literą z. Zapiszmy cosinus alfa w tym trójkącie prostokątnym. To y przez a. W takim razie y to a razy cosinus alfa. Teraz wyznaczymy długość wysokości korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Spróbuj to zrobić samodzielnie. a kwadrat równa się h kwadrat dodać y kwadrat, czyli h kwadrat to a kwadrat odjąć y kwadrat. Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w drugim trójkącie prostokątnym. c kwadrat to h kwadrat dodać z kwadrat. Wiemy, że h kwadrat to a kwadrat odjąć y kwadrat. Wstawmy zatem w tym równaniu w miejsce h kwadrat, a kwadrat odjąć y kwadrat. c kwadrat równa się a kwadrat odjąć y kwadrat dodać z kwadrat. Teraz zabierzemy się za z kwadrat. z to długość odcinka b pomniejszona o długość y. z kwadrat to w nawiasie b odjąć y, zamykamy nawias, do kwadratu. Wstawmy to do naszego równania. Otrzymujemy a kwadrat odjąć y kwadrat dodać b odjąć y, zamykamy nawias do kwadratu. Uprośćmy to wyrażenie, zapisując kwadrat tej różnicy w postaci sumy algebraicznej. Otrzymamy: c kwadrat równa się a kwadrat odjąć y kwadrat dodać b kwadrat odjąć 2by dodać y kwadrat. -y kwadrat dodać y kwadrat się zredukuje. Zostaje nam: c kwadrat równa się a kwadrat dodać b kwadrat odjąć 2by. Czy to wyrażenie coś Ci przypomina? Jest podobne do twierdzenia cosinusów. Żeby uzyskać ten wzór, wystarczy w miejsce y wstawić a razy cosinus alfa. Otrzymujemy: c kwadrat równa się a kwadrat dodać b kwadrat odjąć 2ba cosinus alfa. Wykonaliśmy nasze zadanie! Pokazaliśmy, że znając długości dwóch boków i miarę kąta między nimi da się obliczyć kwadrat długości boku znajdującego się naprzeciw kąta którego miarę znamy. Czy to na pewno koniec dowodu? Musimy się zastanowić, czy każdą sytuację da się sprowadzić do tego przypadku. Jak dobrze wiesz, nie zawsze wysokość opada w środku trójkąta. W trójkącie rozwartokątnym opada na przedłużeniu boku. Który kąt może być rozwarty? Mamy 3 możliwości: albo ten naprzeciwko boku c albo ten naprzeciwko boku a albo ten naprzeciwko boku b. Jeżeli rozwarty będzie kąt naprzeciwko boku b to dowód się nie zmieni ponieważ wysokość, której potrzebujemy pada wewnątrz trójkąta. Przyjrzyjmy się w takim razie dwóm pozostałym przypadkom. Mamy tutaj trójkąt rozwartokątny w którym kąt rozwarty jest naprzeciwko boku a. Czy to problem? Nie, bo udowadniając twierdzenie możemy przecież zmienić wysokość której używamy. Wysokość poprowadzona na bok a na pewno będzie opadała wewnątrz tego boku ponieważ wychodzi z wierzchołka kąta rozwartego. Wtedy możemy przeprowadzić rozumowanie identyczne jak w poprzednim przypadku zamieniając boki a i b. Na szczęście w twierdzeniu cosinusów nic się nie zmieni, jeśli a i b zamienimy rolami. Obliczenia masz na tablicy. Spróbuj samodzielnie je prześledzić. Ja przejdę do ostatniego przypadku. Tego, w którym rozwarty jest kąt alfa. Mamy tutaj trójkąt rozwartokątny. Załóżmy, że znamy długości a i b i miarę kąta między nimi, czyli alfa. Alfa jest kątem rozwartym. Mamy wykazać, że znając długości dwóch boków i miarę kąta między nimi da się obliczyć kwadrat długości boku znajdującego się naprzeciw kąta którego miarę znamy. Sztuczka z poprzedniego przypadku nie zadziała. Wiesz, że wysokości opuszczone na bok a i bok b, opadną poza tymi bokami. Zobaczmy, co da się zrobić. Narysujmy wysokość prostopadłą do boku b i przedłużenie tego boku aby stykało się z wysokością. Długość wysokości oznaczmy literą h a długość tego odcinka literą y. Czy możemy obliczyć długość odcinka y wykorzystując jej zależność od h oraz cosinusa kąta alfa? Nie bardzo! Co prawda mamy tutaj trójkąt prostokątny ale niestety nie ma w nim kąta alfa. Ten kąt jest jednak przyległy do kąta alfa. Oznaczmy go beta. Cosinus kąta beta to y przez a. Dalej wnioskujemy że y to a razy cosinus beta. W zadaniu nie podano nam jednak kąta beta tylko kąt alfa. Jaki jest związek pomiędzy tymi kątami? Zauważmy, że są to kąty przyległe czyli beta to jest to samo co 180 stopni odjąć alfa. Możemy zapisać w takim razie że y będzie równe a razy cosinus 180 stopni odjąć alfa. Czy masz jakiś pomysł jak zapisać y w zależności od a oraz cosinusa kąta alfa? Podpowiem, że należy skorzystać ze wzoru redukcyjnego. Ze wzorów redukcyjnych wiemy że cosinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa to jest to samo co minus cosinus alfa. Stąd y to -a razy cosinus alfa. Teraz wyznaczamy długość wysokości h w zależności od długości odcinków a oraz y. Z tą częścią dowodu nie ma żadnego problemu. Wciąż mamy przecież trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa, a kwadrat równa się h kwadrat dodać y kwadrat czyli h kwadrat to a kwadrat odjąć y kwadrat. Co dalej? Zauważ, że te 3 odcinki czyli c, h oraz y dodać b tworzą trójkąt prostokątny. Możemy zatem ponownie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. c do kwadratu to kwadrat długości tego odcinka, czyli h kwadrat dodać kwadrat długości tego odcinka czyli w nawiasie y dodać b zamykamy nawias, do kwadratu. Wstawmy w miejsce h do kwadratu a do kwadratu odjąć y do kwadratu. Otrzymamy c kwadrat równa się a kwadrat odjąć y kwadrat dodać w nawiasie y dodać b zamykamy nawias, do kwadratu. Przekształcamy prawą stronę równania korzystając ze wzoru na kwadrat sumy. Otrzymujemy c kwadrat równa się a kwadrat odjąć y kwadrat dodać y kwadrat dodać 2by dodać b kwadrat. -y kwadrat dodać y kwadrat się zredukują. Zostaje: c kwadrat równa się a kwadrat dodać b kwadrat dodać 2by. Wiemy, że y to -a cosinus alfa. Wstawiając w miejsce y -a cosinus alfa w tym równaniu otrzymujemy: c kwadrat równa się b kwadrat dodać a kwadrat odjąć 2ba cosinus alfa, czyli nic innego jak twierdzenie cosinusów. To kończy dowódcy, dla tego przypadku. W gruncie rzeczy rozpatrzyliśmy już wszystkie przypadki więc dowód twierdzenia cosinusów jest zakończony. Aby wykazać, że w każdym trójkącie zachodzi równość: c do kwadratu równa się a do kwadratu dodać b do kwadratu odjąć 2 razy a razy b razy cosinus gamma należy rozważyć trzy przypadki. Pierwszy to taki, gdzie kąt gamma jest kątem ostrym drugi, gdy kąt gamma jest kątem rozwartym a trzeci, gdy kąt gamma jest kątem prostym. W tym dziale znajdziesz lekcje dotyczące funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pi–stacja.tv